Sei A ∈ Matn(K) eine Matrix und
σ(A) = {λ ∈ K | ∃a ∈ V mit a ≠ 0 und f(a) = λa}
ihr Spektrum, also die Menge der Eigenwerte. Beweisen oder widerlegen Sie:
(i) Es gilt A ∈ GLn(K) genau dann, wenn λ = 0 kein Eigenwert ist.
(ii) Die Summe a + b von zwei Eigenvektoren a, b ∈ Kn
ist ein Eigenvektor.
(iii) Sind λ, µ Eigenwerte von A, so ist das Produkt λµ Eigenwert von A2
.
(iv) Ist A invertierbar und diagonalisierbar, so ist auch A−1 diagonalisierbar.
(v) Aus der Bedingung An = 0, n ≥ 1 folgt die Gleichheit σ(A) = {0}.
:)
