Folge von Mittelwerten bk := 1/k ∑ k j=1 a für k ∈ N

Question

Aufgabe:

Folge von Mittelwerten
Problem/Ansatz:

Folge von Mittelwerten

Es sei (a_k)_k∈N eine Folge mit b_k := 1/k ∑ ^k _j=1 a  für k ∈ N.  

I) Zeigen Sie: Falls (a_k)_k∈N gegen ein a ∈ R konvergiert, so konvergiert auch (b_k)_k∈N gegen a

II) Geben Sie eine Folge (a_k)_k∈N an, sodass zwar (b_k)_k∈N konvergiert, die Folge (a_k)_k∈N selbst aber nicht

Ich dachte, für jedes 1≤N<k, wir haben ∣∣1/k∑kj=1aj−a∣∣≤∣∣1/k∑Nj=1(aj−a)∣∣+∣∣1/k∑kj=N+1(aj−a)∣∣  und für b, (an) := (−1)^n ⇒ (n) ist bekanntlich divergent.  Aber ich weiß nicht, wie wahr es ist, und ich kann das Ergebnis nicht finden. Gibt es jemanden, der helfen kann?