Vektorgeometrie: Schneiden sich Winkelsymmetrale von beta und Seitensymmetrale von b auf dem Umkreis?

Question

Hi Man überprüfe am dreieck mit den Eckpunkten A(-0.6/-4.2) B(5/7) C(-3/3) Ob die Winkelsymmetrale des Winkels beta und die seitensymmetrale der Seite b einander in einem Punkt D des Umkreis schneiden! Dankesehr

Comments

Für etwaige Mitleser ein Hinweis:

Winkelsymmetrale=Winkelhalbierende

Mittelsymmetrale=Mittelsenkrechte

 

Grüße

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Hier eine ähnliche Frage zu Winkelhalbierenden. Allerdings in 3-dim.

https://www.mathelounge.de/20046/bestimmen-gleichung-winkelsymmetrale-winkelhalbierenden

Vielleicht kannst du die Antwort dort selbständig anpassen(?)

Answer 1

A(-0.6/-4.2) B(5/7) C(-3/3)

Winkelhalbierende bei B

x = B + r * BA / |BA| + r * BC / |BC| 
x = [5, 7] + r·([-0.6, -4.2] - [5, 7])/ABS([-0.6, -4.2] - [5, 7]) + r·([-3, 3] - [5, 7])/ABS([-3, 3] - [5, 7])
x = [5 - 3·√5·r/5, 7 - 3·√5·r/5]

Mittelsenkrechte von AC

AC = [-2.4, 7.2] Senkrecht dazu ist [7.2, 2.4]

x = 1/2 * (A + C) + r * [7.2, 2.4]
x = [36·r/5 - 9/5, 12·r/5 - 3/5]

Schnittpunkt heißt gleichsetzen

[5 - 3·√5·r/5, 7 - 3·√5·r/5] = [36·s/5 - 9/5, 12·s/5 - 3/5]

r = 8·√5/3 ∧ s = - 1/6

D = [36·(- 1/6)/5 - 9/5, 12·(- 1/6)/5 - 3/5] = [-3, -1]

 

Nun müsste ich noch den Umkreis Bestimmen.

Mittelsenkrechte AB

AB = [5.6, 11.2] Senkrecht dazu ist [11.2, -5.6]

x = 1/2 * (A + B) + r * [11.2, -5.6]
x = [56·r/5 + 11/5, 7/5 - 28·r/5]

Schnittpunkt der Mittelsenkrechten

[36·r/5 - 9/5, 12·r/5 - 3/5] = [56·s/5 + 11/5, 7/5 - 28·s/5]

r = 2/3 ∧ s = 1/14

M = [36·(2/3)/5 - 9/5, 12·(2/3)/5 - 3/5] = [3, 1]

Nun bestimmen wir den Radius des Umkreises und den Abstand vom Umkreismittelpunkt zum Punkt D.

|MA| = 2·√10
|MD| = 2·√10

Damit liegt D auf dem Umkreis des Dreiecks.