Suche erst mal den rechten Winkel. Im Normalfall wäre der ja bei C
A(-10/-9/-4) B(11/5/-4) C(-1/9/-10) P(-11/-5/10)
Vektoren CA und CB
CA = (-10 - (-1) | -9 - 9 | -4 - (-10)) = (-9| - 18| 6) 1/3 CA = (-3| -6|2)
CB = (11 - (-1) | 5 - 9 | -4 - (-10)) = (12| - 4| 6) 1/2 CB = (6|-2|3 )
Skalarprodukt: CA * CB = -108 + 72 + 36 = 0.
Also rechter Winkel in C.
Jetzt die Richtung der Winkelhalbierenden.
|1/3 CA| = √(9 + 36 + 4) = 7
|1/2 CB| = √(36 + 4 + 9) = 7
Zufällig sind beide Vektoren gleich lang. Wenn das nicht so wäre, würde man jetzt das kgV bestimmen.
Die Richtung der Winkelhalbierenden ergibt sich als Summe dieser beiden gleich langen Vektoren (Skizziere das mit Rhombus!)
v = (-3+6|-6-2|2+3) = (-3|-8|5)
Parameterform der gesuchten Winkelhalbierenden
w: r = (-1/9/-10) + t(-3|-8|5)
Parameterform der Geraden durch A und B
A(-10/-9/-4) B(11/5/-4)
a: r = (-10|-9|-4) + s(21|14|0)
oder mit kürzerem Richtungsvektor:
a: r = (-10|-9|-4) + s(3|2|0)
Jetzt gleichsetzen
r = (-1/9/-10) + t(-3|-8|5) = (-10|-9|-4) + s(3|2|0)
komponentenweise
x = -1 -3t = -10 + 3s
y= nur zur Kontrolle nötig
z = -10 + 5t = - 4
Aus der letzen Gleichung t berechnen
-10 + 5t = - 4
5t = 6
t = 6/5
t in Parametergleichung für w einsetzen → S
0S = (-1/9/-10) + 6/5 (-3|-8|5) = (- 4.6| -0.6| -4)
Resultat: S(-4.6|-0.6|-4)
Das ist jetzt wegen der Kommastellen nicht so schön. Gut möglich, dass ich mich irgendwo verrechnet habe. Rechne nochmals nach und korrigiere gegebenenfalls.
Weitere Kontrollmöglichkeit: In -1 -3t = -10 + 3s noch s bestimmen und S via die andere Geradengleichung noch berechnen.
