Für welches x gilt: 0 = 3*ln(x) + 1/x

Question

Ja hallo erstmal,...

also meine Frage steckt schon im Titel, aber hier gerne nochmal:

Für welche x-Werte gilt: 0 = 3*ln(x) + 1/x

Ich weiß hier nicht mehr weiter, wie ich die Gleichung jetzt nach x umstellen kann. Es muss doch irgendeine Umformung für ln(x) geben, die mir nicht einfällt. Denn mit der e-Fkt. klappt es nicht so wie ich möchte.

ln(x) = 1/(3x)    =>  x = e^{1/[3x]}

Ich schaff es einfach nicht, das x alleine auf eine Seite steht. Weiß da bitte jemand rat?

Comments

Sicher,dass das die richtige Gleichung ist?

Answer 1

ich denke die Gleichung ist nur numerisch lösbar. Der Graph sieht so aus

 und man sieht, dass es zwei Lösungen gibt, nämlich \( x = 0.22 \) und \( x = 0.538 \)

Comments

Genau das habe ich auch schon herausgefunden mit einen Grafikzeichner, aber ich muss das doch auch irgendwie schriftlich lösen können...

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das versteh ich nicht, es gibt doch Gleichungen die nicht geschlossen gelöst werden können. Dann kommen numerische Verfahren zum Einsattz, wie z.B. das Newton Verfahren o.ä. Das sind wissenschaftlich belegte Verfahren über die man im übrigen auch ein separates Mathematikstudium absolvieren kann. Insofern seh ich kein Problem mit einer numerischen Lösung.

Du kannst allerdings das verwendete Verfahren explizit aufschreiben und die ersten Näherungslösungen berechnen.

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Alles klar, ich habe mir ein Video dazu angesehen und es ist relativ simpel... lediglich Zeitaufwändig.

Dankeschön!

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der Clou an einem numerischen Verfahren ist, den oder die Startwerte für die NUllstellenbestimmung zu finden und sich einen Überblick über die Anzahl der möglichen Nullstellenn zu verschaffen.

Die erste Ableitung der Funktion \( f(x) = 3ln(x)+\frac{1}{x} \) lautet \( f'(x) = \frac{1}{x} \left( 3- \frac{1}{x} \right) \) Für \( f' \) gilt, \( f' < 0 \) für \( x < \frac{1}{3} \) und \( f' > 0 \) für \( x > \frac{1}{3} \)

Das bedeutet, links von \( \frac{1}{3} \) gibt es genau einen Nullstelle und rechts von \( \frac{1}{3} \) auch, also gibt es genau zwei Nullstellen.

Der Startwert für z.B. das Newtonverfahren sollte also einmal links und einmal rechts von \( \frac{1}{3} \) liegen.

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Vielen Dank nochmal für die ausführliche Antwort. Das konnte ich alles aus dem Lehrvideo bereits entnehmen. Mir war lediglich wichtig wie das Verfahren hieß, dann ist es ein leichtes für mich weiter zu machen.

Trotzdem vielen Dank!

Answer 2

Diese Gleichung kannst Du, ebenso wie viele andere, nicht nach \(x\) auflösen. Warum willst Du das überhaupt machen? Was ist denn die eigentliche Aufgabe?

Comments

Ich soll alle lokalen und globalen Extrema herausfinden von dieser Funktion:

f(x) = e^{3x} * ln(x)

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Bist du sicher, dass ln(x) nicht im Exponenten steht?

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Jap, absolut sicher.

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Aha. Betrachte die Antwort von ullim.