Mathe: Symmetrie von Funktionen. Brauche 2 Merksätze.

Question

Welchen Zusammenhang gibt es zwischen Funktionsgleichungen und Symmetrieeigenschaften? Fassen sie ihre Überlegungen zu zwei Merksätzen zusammen.

Answer 1

Man betrachtet bei Funktionsuntersuchungen grundsätzlich nur 2 Symmetrien. 

Damit hatte ich früher in der Schule immer Probleme weil ich nicht verstanden habe, wie die Lehrerin sagen konnte es gibt keine Symmetrie, wobei man immer zeichnerisch gesehen hat das die Funktion symmetrisch wahr. Bis ich mir dann erklären lies, dass man nur erstmal 2 besondere Symmetrien untersucht.

 

Die Symmetrie zur y-Achse (Achsensymmetrie)

Hier gilt das der Funktionswert an einer Stelle -x mit dem Funktionswert an einer Stelle x übereinstimmt. Ganzrationale Funktionen die Achsensymmetrisch zur y-Achse sind haben nur gerade Potenzen von x.

Kurz: f(-x) = f(x)

 

Die Symmetrie zum Koordinatenursprung (Punktsymmetrie)

Hier gilt das der Funktionswert an einer Stelle -x vom Betrag her mit dem Funktionswert an einer Stelle x übereinstimmt, allerdings ein anderes Vorzeichen hat. Ganzrationale Funktionen die Achsensymmetrisch zur y-Achse sind haben nur ungerade Potenzen von x.

Kurz: f(-x) = -f(x)

Answer 2

Damit eine Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist, muss gelten:

f(-x) = f(x)

Wenn f ein Polynom ist, also ein Term der Form

f(x) = c₀ + c₁x + c₂x² + ... + c_nxⁿ

dann ist das äquivalent dazu, dass alle c_j mit ungeradem j 0 sind.
Mit anderen Worten: in einer zur y-Achse achsenymmetrischen polynomiellen Funktion dürfen nur gerade Potenzen von x auftreten.

 

Damit eine Funktion punktsymmetrisch zum Nullpunkt ist, muss gelten:

f(-x) = -f(x)

Für ein Polynom ist das äquivalent zu der Tatsache, dass alle c_j mit geradem j 0 sind, dass also nur ungerade Potenzen von x auftreten.

 

Man nennt solche Funktionen deshalb auch gerade und ungerade Funktionen.