Symmetrie von Funktionen, Punktsymmetrie, y-Achsen-Symmetrie

Question

Aufgabe:

(a) Bestimmen Sie ob die folgenden Funktionen Symmetrien aufweisen (ungerade (Punktsymmetrie zum Ursprung) oder gerade ( \( y \)-Achsensymmetrie) Funktion), oder ob sie keine Symmetrie besitzen.
(i) \( f(x)=7 x^{6}+3 x^{4}-2 \)
(ii) \( g(x)=\sqrt{e^{\left(x^{2}\right)}}-2 \)
(iii) \( h(x)=7 x^{5}+\frac{1}{x^{3}} \)
(iv) \( i(x)=1 \)

(b) Angenommen \( f_{1}, f_{2} \) seien gerade und \( g_{1}, g_{2} \) seien ungerade. Was gilt für die Symmetrie der folgenden Funktionen:
(i) \( h_{1}(x)=f_{1}(x) \cdot f_{2}(x) \)
(ii) \( h_{2}(x)=f_{1}(x) \cdot g_{1}(x) \)
(iii) \( h_{3}(x)=\left(f_{1}(x)+f_{2}(x)\right) \cdot g_{1}(x) \)
(iv) \( h_{4}(x)=f_{1}(x) \cdot f_{2}(x)+g_{1}(x) \cdot g_{2}(x) \)

Problem/Ansatz:

Answer 1

z.B. (i) Polynom mit geraden Exponenten, also achsensymmetrisch.

z.B. (ii):

Achsensymmetrie.

Comments

Danke und was ist mit der b) weisst du da weiter ?

Answer 2

Hallo

Achsensymmetrisch f(x)=f(-x)

Punktsymmetrisch f(x)=-f(-x)

damit wenn nur gerade Potenzen von x vorkommen Achsensym, nur ungerade Punktsym.

bei b) entweder die Bedingung oben einsetzen, oder einfache Beispiele für f und g benutzen f=x^2

g=x etwa

Gruß lul

Comments

Ok danke, also in der b) einfach ungerade zahlen in f^x einsetzen ?

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Hallo

den Kommentar versteh ich nicht, was soll den f^x sein?

lul

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Ich verstehe nicht ganz was ich in der b) einsetzen soll. Du hattest gesagt: "einfache Beispiele für f und g benutzen", was ich so interpretiert habe als das man entweder gerade oder ungerade Zahlen für g und f einsetzen soll oder habe ich das falsch verstanden ?

LG,

Chris

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Es geht doch um Funktionen, also Beispiele für gerade bzw ungerade Funktionen, sicher nicht Zahlen, ich hatte die einfachsten ungerade und gerade Funktion genannt, aber auch einfach f(x)=f(-x) einsetzen und g(x)=-g(-x) ist ja möglich, was passiert dann mit der Summe, dem Produkt usw?

lul