Symmetrie nachweisen Achsen- und Punktsymmetrie

Question

weiß jemand, ob die untenstehenden Berechnungen richtig zum Nachweisen für Achsen- und Punktsymmetrie sind, so habe ich das in der Schule gelernt, bin mir aber nicht sicher ob ich das so richtig verstanden habe.

Ich habe folgenden Lösungsansatz gemacht:

Achsensymmetrie: f(x) = f(-x) Ausgangsgleichung: f(x) -xhoch4 + 3x² -2

f(4) = -(4)hoch4 + 3(4)² -2 f(4) = -256 + 24 -2 f(4) = -234

f(-4) = -(-4)hoch4 + 3(-4)² -2 f(-4) = -256 + 24 -2 f(-4) = -234

f(x) = f(-x) -234 = -234 ist achsensymmetrisch *Ist es egal, wenn das Ergebnis + oder - als Vorzeichen trägt? Es muss doch nur beides gleich sein, oder? *

Punktsymmetrie: f(x) = -f(-x) Ausgangsgleichung: f(x) -2x³ +2x

f(2) = -2(2)³ + 2(2) f(2) = -16 + 4 f(2) = -12

f(-2) = -2(-2)³ + 2(-2) f(-2) = +16 - 4 f(-2) = 12

f(x) = f(-x) 12= -(-12) ist punktsymmetrisch

Danke schonmal

Answer 1

 

f(x) = -x⁴ + 3x² -2

f(4) = -4⁴ + 3 * 4² - 2 = -256 + 48 - 2 = -210

f(-4) = -(-4)⁴ + 3 * (-4)² - 2 = -256 + 48 - 2 = -210

Da hast Du einen kleinen Rechenfehler eingebaut (-234 statt -210), ist aber jetzt nicht so wichtig. 

Richtig ist: Für Achsensymmetrie muss f(x) = f(-x) gelten, ob das Ergebnis positiv oder negativ ist, ist ohne Belang. 

Aber ganz wichtig:

Du kannst nicht einfach irgendeinen x-Wert nehmen und den dazu gehörigen negativen x-Wert, beide in die Formel einsetzen, und wenn dann das gleiche Ergebnis herauskommt schließen, dass Achsensymmetrie vorliegt. 

Wenn man z.B. die - zugegebenermaßen sehr krumme und nicht gekürzte - Funktion

f(x) = 1775/90000 * x³ + 4875/9000 * x² - 1/3 * x + 4/3

hat, dann gilt zwar

f(4) = f(-4) = 10, aber trotzdem liegt keine Achsensymmetrie vor, weil f(2) = 3 ≠ f(-2) = 4

Um Achsensymmetrie zu beweisen, musst Du ganz mechanisch vorgehen: 

f(x) = - x⁴ + 3 * x² - 2

f(-x) = - (-x)⁴ + 3 * (-x)² - 2

Und diese beiden Werte sind gleich, weil 

- x⁴ = - (x * x * x * x)

und 

- (-x)⁴ = - (-x * -x * -x * -x) = - (x * x * x * x)

weil wir innerhalb der blauen Klammer eine gerade Anzahl von Minuszeichen haben, die sich damit aufheben. 

Analog für + 3 * x² bzw. + 3 * (-x)²

Und die 2, die am Schluss subtrahiert wird, ist ohnehin gleich. 

Auf einen Blick kann man übrigens sehen, dass die gegebene Funktion achsensymmetrisch ist: Wir haben nur gradzahlige Exponenten: 

x⁴, also die 4

x², also die 2

2 = 2 * x⁰, also die 0

 

Ich denke, dass sich auch bei der Punktsymmetrie eine Beispielfunktion finden lässt, wo 2 Punkte der Bedingung genügen, zwei andere aber nicht. 

Deshalb hier das Vorgehen: 

f(x) = -2 * x³ + 2x = -f(-x)

f(-x) = -2 * (-x)³ + 2 * (-x) = + 2 * x⁴ - 2 * x 

(Hier hatten wir übrigens nur ungradzahlige Exponenten.)

 

Alles klar?

Besten Gruß