Beweisen oder widerlegen (durch Angabe eines Gegenbeispiels) Sie folgende Aussagen: Matrizen und Determinaten

Question

Aufgabe:

Beweisen oder widerlegen (durch Angabe eines Gegenbeispiels) Sie folgende Aussagen:

a) Für \( A \) eine reelle \( 2 \times 2 \) oder \( 3 \times 3 \)-Matrix gilt \( \operatorname{det}(-A)=-\operatorname{det}(A) \).

b) Die Vektoren \( \left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ 5 \\ 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ 2 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}2 \\ -3 \\ 4 \\ 4 \end{array}\right) \) im \( \mathbb{R}^{4} \) kann man zu einer Basis des \( \mathbb{R}^{4} \) ergänzen.

c) Falls \( A \) eine reelle \( 2 \times 2 \) Matrix mit \( A^{2}=I \) ist, dann ist \( A=\pm I \).

d) Zu jedem \( n \in \mathbb{N} \) gibt es eine Gruppe mit \( n \) Elementen.

Answer 1

a) gilt wie man leicht nachweist i.A. nicht für reelle \(2\times2\)-Matrizen.

b) gilt nicht, da die Vektoren nicht linear unabhängig sind:

$$\begin{pmatrix}2\\-3\\4\\4\end{pmatrix}=2\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\5\\2\end{pmatrix}-3\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\2\\0\end{pmatrix}.$$

c) gilt nicht:

$$\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.$$

d) stimmt. Wähle z.B. \(G=\mathbb Z/n\mathbb Z\).