Aufgabe:
Der Trägheitstensor \( T \) eines Punktes im \( \mathbb{R}^{2} \) mit der Masse \( m \) und dem Ortsvektor \( \left[\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{2} \) ist durch folgende reelle symmetrische \( 2 \times 2 \)-Matrix definiert:
\( T:=m\left[\begin{array}{cc} x_{2}^{2} & -x_{1} x_{2} \\ -x_{2} x_{1} & x_{1}^{2} \end{array}\right] \)
Falls nicht gerade \( \vec{x}=\overrightarrow{0} \) gilt, hat \( T \) zwei Eigenwerte. Ihre Aufgabe besteht darin, die Eigenwerte und Eigenvektoren zu berechnen sowie \( T \) zu diagonalisieren.
Konkret ist Ihre Position gegeben durch
\( \vec{x}=\left[\begin{array}{l} -4 \\ -3 \end{array}\right] \)
Die Masse \( m \) in kg sei \( 55 \).
a) Berechnen Sie die beiden Eigenwerte \( \lambda_{1}, \lambda_{2} \) von \( T \) sowie zugehörige Eigenvektoren \( \overrightarrow{v_{1}}, \overrightarrow{v_{2}} \) (nur die Zahlenwerte, also ohne die angegebenen physikalischen Einheiten).
b) Berechnen Sie eine invertierbare Matrix \( S \) und eine Diagonalmatrix \( D \), sodass \( T=S D S^{-1} \)
