Radioaktives Iod hat eine Halbwertzeit von ungefähr 8 Tagen.

Question

Zur Erstellung von Strahlungsbildern der Schilddrüse wird radioaktives Iod verwendet, das eine Halbwertszeit von ungefähr acht Tagen hat.

a) Gib die Gleichung der Exponentialfunktion an, nach der eine Masse von 3 g Iod abnimmt.

b) Stelle die Massenabnahme von Iod im Koordinatensystem dar.

c) Wie viel Gramm Iod wären nach 24 Tagen noch vorhanden?

Answer 1

Hi,
der radioaktive Zerfall wird durch folgende Differentialgleichung beschrieben
$$ N'(t) = -\lambda N(t) $$ Die Lösung sieht folgendermaßen aus
$$ N(t) = N_0e^{-\lambda t} $$ mit der Zerfallskonstanten \( \lambda \) und der Anfangsbedingung \( N(0) = N_0 \)

Die Halbwertszeit \( \tau \) ist dadurch definiert das gilt
$$ N \left(\tau\right) = \frac{N_0}{2} $$ gilt. Daraus folgt
$$ \tau = \frac{ln(2)}{\lambda}  $$
Du hast \( N_0 = 3 g \) und \( \tau = 8 \text{ Tage} \) gegeben. Daraus ergibt sich \( \lambda = \frac{ln(2)}{\tau} = 0.087 \)
Das alles eingesetzt ergibt nach 24 Tagen $$  N(24) = 0.375 \text{ Gramm Jod}$$

Answer 2

Zur Beantwortung der Frage muß dir bekannt sein
- Halbwertzeit
- Exponentialfunktion

0.5 = f^8
f = 0.5^{1/8}
f = 0.917
0.917 * 0.917 * 0.917... 0.917 = 0.5

Z ( t ) = Z0 * f ^t
Z ( t ) = 3 * 0.917 ^t
Beispiel
Z ( 8 ) = 3 * 0.917 ^8 = 1.5 gr
Nach 8 Tagen ist nur 50 % ( 0.5 ) der Ausgangsmenge
vorhanden.

Z ( 24 ) = 3 * 0.917 ^24
Z ( 24 ) = 3 * 0.125 = 0.375 gr
Nach 24 Tagen ist noch 0.375 gr vorhanden.

Comments

Danke, aber könnten Sie mir erklären was f bei Ihnen ist? Und warum sie auf 0,917 kommen, weil ich nicht verstehe warum man 0,5 hoch 1/8 nimmt. Dankeschön

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Leider kann ich dir über das Internet nicht weiterhelfen.

Deine Frage zeugt davon das du dich mit Exponential-
funktionen / Halbwertzeiten usw  nicht auskennst.

Das ist aber nicht so schlimm.

Das muß dir alles in einem Unterricht beigebracht werden.

Das wird noch werden.

mfg Georg

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habt ihr schon Zinsrechnung gehabt ?
Das kann man vergleichen.

Zinssatz = 4 %
K0 = Anfangskapital
t = Zeit in Jahren
K ( t ) = K0 * 1.04 ^t

Beispiel
K0 = 10000 €
t = 7 Jahre
K ( 7 ) = 10000 * 1.04 ^7
K ( 7 ) = 10000 * 1.316
K ( 7 ) = 13160 €

Jetzt kann man auch Fragen stellen : wann hat sich
das Kapital verdoppelt ? usw.

Dieselbe Funktion wird auch für den radioaktiven Zerfall genommen.
In der Halbwertzeit halbiert sich die Anfangsmenge.
Beim Kapital ist der Faktor > 1.
Beim Jod ist der Faktor < 1 nämlich 0.917.