Kann mir jemand die Funktionsgleichung sagen (Kurvendiskussion Rückwärts)

Question

Der zur y-Aches symmetrische Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades geht durch P(0/2) und hat bei x=2 ein Extrenum. Er berührt dort die x-Achse.

Ich will nur wissen wieso es die Funktionsgleichung f (x) = ax⁴ + bx² + c ist und nicht f(x) = ax⁴ + bx² + c +d +e ?

Answer 1

Wenn eine Symmetrie zur y-Achse vorhanden ist, können nur gerade Potenzen von x vorkommen.

Daher f(x) = ax^4 + bx^2 + c

oder, wenn du lieber willst

f(x) = ax^4 + cx^2 + e

Zur Symmetrie vgl. Video weiter oben in diesem Link: https://www.matheretter.de/wiki/achsensymmetrie

Comments

Ja aber ist doch eine Funktion viertes Grades wieso dann nicht ax⁴ + bx² + c +d +e

Answer 2

Hi!

Frage:
Ich will nur wissen, wieso es die Funktionsgleichung f (x) = ax4 + bx2 + c ist
und nicht f(x) = ax4 + bx2 + c +d +e ?

Antwort:
Die Koeffzienten in den ungeraden Monomen müssen bei einer zur \(y\)-Achse symmetrischen Funktion alle Null sein.

Soweit zu deinem Problem. Nun noch was zur Aufgabe: Die Angaben lassen einen sehr einfachen Ansatz über die Produktdarstelung zu, so dass sich die Funktionsgleichung ohne Rechnung schreiben lässt als
$$ y = \frac{1}{16} \cdot \left(x+2\right)^2 \cdot \left(x-2\right)^2. $$