Eine ganzrationale Funktion vierten Grades besitzt bei \(x=0\) ein Extremum und bei \(x=-1\) einen Sattelpunkt. Die Tangente bei \(x=1\) hat die Gleichung \(f(x)= 48x-48\). Wie lautet die Funktionsgleichung?
Der Berührpunkt der Tangente ist B\((1|48\cdot1-48=0)\)
\(x=-1\) ist ein Sattelpunkt
Ich verschiebe den Sattelpunkt so, dass er auf der x-Achse liegt: Dreifachnullstelle
\(f(x)=a(x+1)^3(x-N)\)
Tangentensteigung in B ist \(m=48 \)
\(f'(x)=a[3(x+1)^2(x-N)+(x+1)^3]\)
\(f'(1)=a[3(1+1)^2(1-N)+(1+1)^3]=a[12(1-N)+8]=48 \)
\(a=\frac{48}{12(1-N)+8}=\frac{48}{20-12N} \)
\(f(x)=\frac{12}{5-3N}[(x+1)^3(x-N)]\)
bei \(x=0\) ein Extremum:
\(f'(0)=\frac{12}{5-3N}[3(0+1)^2(0-N)+(0+1)^3]=0\)
\(N=\frac{1}{3}\) \(a=3 \)
\(f(x)=3(x+1)^3(x-\frac{1}{3})\)
Es soll B\((1|0)\) gelten:
\(f(1)=3(1+1)^3(1-\frac{1}{3})=16\)
Also muss der Graph von \(f(x)\) um 16 Einheiten nach unten verschoben werden
\(p(x)=3(x+1)^3(x-\frac{1}{3})-16\)
