Bestimme eine ganzrationale Funktion f vierten Grades mit T(2/4) und W(0/0)

Question

Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion f vierten Grades, so dass für den Graphen gilt:
T(2/4) ist rel. Tiefpunkt,  w(0/0) ist Wendepunkt
Wendetangenten hat die Steigung 1

Answer 1

Du suchst eine Funktion vierten Grades.

$$f(x)=a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e$$

Es gibt fünf Unbekannte: a,b,c,d,e

Also brauchen wir fünf Bedingungen bzw. Gleichungen:

T(2/4) ist rel. Tiefpunkt:

$$f(2)=4$$

$$f'(2)=0$$

w(0/0) ist Wendepunkt:

$$f(0)=0$$

$$f''(0)=0$$

Wendetangenten hat die Steigung 1:

$$f'(0)=1$$

Einsetzten und Gleichungssystem lösen.

Answer 2

Bedingungen:

f(2) = 4
f'(2) = 0
f(0) = 0
f'(0) = 1
f''(0) = 0

Gleichungen:

16a + 8b + 4c + 2d + e = 4
32a + 12b + 4c + d = 0
e = 0
d = 1
2c = 0

Daraus sich ergebende Funktionsgleichung

f(x) = -0,5·x^4 + 1,25·x^3 + x

Diese Funktion hat bei 2/4 aber kein Minimum sondern ein Maximum.

Allerdings kann man das nicht beheben wenn man nicht auf eine Funktion 5. Grades ausweichen möchte.

Comments

Wie das mit einer weiteren Bedingung und einer Funktion 5. Grades geht habe ich unter

https://www.mathelounge.de/48782/tiefpunkt-t-und-wendepunkt-w-0-wendetangente-hat-steigung-1

gezeigt.