Wie lautet die Funktionsgleichung vierten Grades? Extremum und Sattelpunkt bekannt (Kurvendiskussion rückwärts)

Question

Aufgabe:

Eine ganzrationale Funktion vierten Grades besitzt bei \( \mathrm{x}=0 \) ein Extremum und bei \( x=-1 \) einen Sattelpunkt. Die Tangente bei \( x=1 \) hat die Gleichung \( f(x)=48 x- \) 48. Wie lautet die Funktionsgleichung?

Answer 1

Eine ganzrationale Funktion vierten Grades besitzt bei \( \mathrm{x}=0 \) ein Extremum und bei \( x=-1 \) einen Sattelpunkt. Die Tangente bei \( x=1 \) hat die Gleichung \( f(x)=48 x-48 \) . Wie lautet die Funktionsgleichung?

Sattelpunkt bei \(x=-1\):      \(f(x)=a[(x+1)^3(x-N)]\)

\(f'(x)=a[3(x+1)^2(x-N)+(x+1)^3]\)

ein Extremum bei \( \mathrm{x}=0 \):

\(f'(0)=a[3\cdot (0+1)^2(0-N)+(0+1)^3]=a[-3N+1]=0\)

\(N=\frac{1}{3}\)

\(f'(x)=a[3(x+1)^2(x-\frac{1}{3})+(x+1)^3]\)

Tangentensteigung bei \( x=1 \)   ist \(m=48\)

\(f'(1)=a\cdot[3 \cdot (1+1)^2(1-\frac{1}{3})+(1+1)^3]=48\)

\( a=3\)

\(f(x)=3(x+1)^3(x-\frac{1}{3})\)

Comments

Achtung: Nicht für Schüler am Anfang der Oberstufe

Schüler, die am Anfang der Oberstufe stehen, wo Steckbriefaufgaben behandelt werden, sollten sich nicht mit dieser Lösung beschäftigen, da dort die erweiterten Ableitungsregeln wie Kettenregel und Produktregel noch nicht im Unterricht behandelt worden sind.

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Achtung: Nicht für Schüler am Anfang der Oberstufe

\(f(x)=a[(x+1)^3(x-N)]\)

\((x+1)^3\cdot(x-N)\) kann aber ausgerechnet werden.

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Ja mit Müh und Not, wenn man das Pascalsche Dreieck auch noch nicht hatte. Herzlichen Glückwunsch.

Ehrlich. Da ist man mit einer reinen Steckbriefaufgabe, wie sie auch in der Schule erklärt wird, deutlich einfacher und schnelller fertig.

Ich würde statt ausrechnen auch eher ausmultiplizieren sagen.

Answer 2

f(0)=0

f´(0)=0

f´(-1)=0

f´´(-1)=0

f´(1)=48

Allgemeine Form:

ax⁴+bx³+cx²+dx+e

Jetzt ein Gleichungssystem aufstellen und lösen.

LG

Comments

aber wieso f´(1)=48 kannst du mir das erklären

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Die Steigung an der Stelle x=1 kannst du aus der Tangente an dieser Stelle ablesen.

y=mx+t   wobei m die Steigung (48) ist.

Verstanden?

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ok und woher weiss ich das ich den Wert von einer Tangente also wie hier z.B x=1 in die erste Ableitung setze und nicht in die Ausgangsfunktion

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Die 1. Ableitung ist die Steigung. Und du hast ja hier die Steigung an einer bestimmten Stelle gegeben. Nämlich bei x=1 die Steigung 48.

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ok und noch eine letztes Frage :)

ehm wieso hast du f(0)=0 und f´(O)=0 hin geschreiben 

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Du kannst auch mehr fragen wenn du willst, ich hab Zeit ;)

Du weist ja das x=0 ist. Wenn x=0 ist, dann muss ja auch y, also f(0)=0 sein, da die Funktion ja durch den Ursprung geht. Und du weist, dass an der Stelle x=0 ein Extrempunkt vorliegt. Ein Extrempunkt hat die Steigung 0. Die Steigung ist die 1. Ableitung. Deshalb f´(0)=0

LG

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ja aber kann es nicht sein das der Extrempunkt bei x=0 liegt aber y irgendwo bei 3 z.B ist

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"ok und noch eine letztes Frage :)

ehm wieso hast du f(0)=0 und f´(O)=0 hin geschreiben"

Das ist eine sehr gute Frage und die Antwort oben ist auch interessant!

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@Gast hj912:

Ist meine Antwort falsch? Wenn dem so ist gebe doch bitte kurz Bescheid. Nicht das der Fragesteller etwas falsches hier lernt.

LG

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Danke für deine Rückmeldung! Ein wenig "transferieren" muss man eben auch in der Schule.

@Fragesteller:

Bei solchen Steckbriefaufgaben spielt er y-Wert meistens keine Rolle. Wenn du weist, dass bei x=0 ein Extrempunkt vorliegt, weißt du zugleich, dass sich das Monotonieverhalten ändert und der Graph wieder fällt. Deshalb muss y dort 0 sein und die Steigung auch.

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Simon, das ist nicht richtig. Ob der Graph durch den Ursprung geht oder nicht, ist aus den Angaben nicht ersichtlich. Die fehlende Bedingung steckt woanders.

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Die fehlende Bedingung ist dann wahrscheinlich f(1)=0  oder?

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Ja, das ist sie!

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ich bin durcheinander könnt ihr mir mal alle Bedingungen aufschreiben oder am besten mal auch das gleichungs system lösen

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@Fragesteller:

Eine kleine Korrektur bezüglich der Bedingungen.

f(0)=0 ist falsch. Es muss gelten: f(1)=0

Entschuldige bitte, ich hoffe, das du noch nicht mit dem Rechnen begonnen hast.

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f(1)=0

f´(0)=0

f´(-1)=0

f´´(-1)=0

f´(1)=48

Das sind alle Bedingungen, die du brauchst.

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ok aber wieso haben wir jetzt f(1)=0 aufgeschreiben ?

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Also ich meine jetzt mit f nicht die Tangente, sondern die gesuchte Funktion.

Du weist ja dass die Tangente bei x=1 ist. Der Punkt der Tangente liegt aber auch auf der gesuchten Funktion. Mit Hilfe der Tangente kannst du ja den y-Wert bestimmen, der ist 0 wenn du für x=1 einsetzt.

Answer 3

Zusammenfassung

Angaben
Funktion 4 Grad :
f ( x ) = a*x^4 + b*x^3 + c* x^2 + d*x + e
bei x = 0 ein Extremum : die Steigung ist in diesem Punkt = 0
f ´( x ) = 12*ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d
f ´( 0 ) = 0  d => 0

f ( x ) = a*x^4 + b*x^3 + c* x^2 + e
f ´( x ) = 12*ax^3 + 3bx^2 + 2cx
f ´´ ( x ) = 36ax^2 + 6bx + 2c

bei x = -1 einen Sattelpunkt
f ´( -1 ) = 12*a(-1)^3 + 3b(-1)^2 + 2c(-1) = 0
-12*a + 3b - 2c = 0

f ´´ ( -1 ) = 36a(-1)^2 + 6b(-1) + 2c = 0
36a  - 6b  + 2c = 0

Die Tangente bei x = 1 : 48x - 48
m = 48
t ( 1 ) = 48*1 - 48 = 0
also auch
f ( 1 ) = 0
f ´( 1 ) = 48 = 12*a(1)^3 + 3b(1)^2 + 2c(1)
12*a  + 3b + 2c = 48

Es bleibt
d = 0
1.) -12*a + 3b - 2c = 0
2.) 36a  - 6b  + 2c = 0
3.) 12*a  + 3b + 2c = 48

1.) plus 3.)
-12a + 3b + 36a - 6b = 0
24a - 3b = 0
2.) minus 3.)
36a - 6b - ( 12a + 3b ) = -48
24a - 9b = -48

24a - 3b = 0
24a - 9b = -48
------------------
-3b - ( -9b ) = 48
6b = 48
b  = 8

24a - 3*8 = 0
24a = 24
a = 1

-12*a + 3b - 2c = 0
-12*1 + 3*8 - 2*c = 0
-12 + 24 - 2c = 0
c = 6

f ( x ) = x^4 + 8x^3 + 6x^2 + e
von der Tangente
f ( 1 ) = 0
f ( 1 ) = 1^4 + 8*1^3 + 6*1^2 + e = 0
1 + 8 + 6 + e = 0
e = -15

f ( x ) = x^4 + 8x^3 + 6x^2 -15

Bitte nachrechnen.
Alle Angaben ohne Gewähr.

Comments

Die 2 ableitung ist 4ax³+3bx²+2cx+d und nicht 12*ax³ + 3bx² + 2cx

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Der erste Fehler bei mir ist schon bei

bei x = 0 ein Extremum : die Steigung ist in diesem Punkt = 0
f ´( x ) = 12*ax³ + 3bx² + 2cx + d

( Alles andere sind Folgefehler )
Ich rechne die Aufgabe aber nicht noch einmal durch.
ich hoffe dem Fragesteller hat es weitergeholfen.

Bin bei Bedarf gern weiter behilflich.

mfg Georg