Logik: Gegenbeispiel für (p → q) ↔ (!p → !q) gesucht

Question

Ist die Aussage (p → q) ↔ (!p → !q) immer wahr?

Wenn nicht, gib ein Gegenbeispiel an.

Bis jetzt kann ich weder Gegenbeispiel noch Beweis bringen.

Wie bekomme ich das mit den Negationen korrekt hin?

Answer 1

Es gibt sogar zwei Gegenbeispiele:

Sei p wahr und q unwahr, dann gilt:

p→q ist falsch, denn p ist zwar wahr aber daraus folgt nicht q.

!p→!q ist wahr, denn weil !p unwahr ist, kann daraus beliebiges gefolgert werden.

Damit sind die beiden Aussagen für diesen Fall nicht äquivalent, somit ist

(p→q) ↔ (!p→!q) falsch.

 

Genauso ist es, wenn p unwahr und q wahr ist.
Man kann die Aufgabe auch durch eine Wahrheitstabelle lösen:

p q !p !q (p→q) !p→!q (p→q) ↔ (!p→!q)

1	1	0	0	1	1	1
1	0	0	1	0	1	0
0	1	1	0	1	0	0
0	0	1	1	1	0	1

 

Comments

Ich denke, deine Ausführung ist diesmal nicht richtig.

Fragen wir uns, welche Schlussfolgerung wahr oder falsch sein muss: 

p ⇒ q ist falsch, wenn und nur wenn p wahr ist und q falsch.

¬q ⇒ ¬p ist falsch, wenn und nur wenn ¬q wahr und ¬p falsch ist, das heißt, wenn q falsch ist, ist p wahr.

So haben wir gezeigt, dass wenn eine der Aussagen nicht falsch ist, auch die anderen Aussagen falsch sein müssen. Das bedeutet,  dass diese Aussagen äquivalent sind. Wir finden folglich kein Gegenbeispiel.

Siehe auch englischen Wiki-Artikel über Contraposition.

Wahrheitstabelle: 

p	q	p ⇒ q	¬q ⇒ ¬p
W	W	W	W
W	F	F	F
F	W	W	W
F	F	W	W

 

---

Es heißt in der Aufgabenstellung aber nicht  ¬q ⇒ ¬p, sondern  ¬p ⇒ ¬q.

Answer 2

p: Die Strasse ist schneebedeckt.

q: Es hat Schnee.

p ---> q ok. Wenn die Strasse schneebedeckt ist, hat es Schnee.

<==/==>    nicht äquivalent mit

NOT p → NOT q

Wenn die Strasse nicht schneebedeckt ist, kann es sehr wohl neben der Strasse Schnee haben.