Frage zu Nullstellen bei Taylorreihen / Taylorpolynomen

Question

Hallo !

Wenn man eine Taylorreihe an einer ganz bestimmten Ordnung abbricht dann erhält man ja ein Taylorpolynom.

Dieses Taylorpolynom n-ten Grades hat dann ja auch n Nullstellen, welche auch komplexe Nullstellen sein können.

Meine Frage lautet nun -->

Haben unendliche Taylorreihen auch unendlich viele Nullstellen ?

LG Spielkamerad

Answer 1

Das kommt ganz drauf an. Also wenn \(f\in \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}) \) ist, dann lautet die Taylorreihe um den Entwicklungspunkt \(a\) ja

$$ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^ {(k) }(a)}{k!} (x-a)^k .$$

Wenn du aber z.B. \(f(x)=x\) hast, dann ist für \(k\geq 2\) ja \(f^{(k)} (a) = 0\), d.h. ab einem gewissen Punkt sind die Koeffizienten in der Reihe alle 0 und du hast nach wie vor lediglich eine Nullstelle. Wenn die Koeffizienten stets ungleich 0 sind, wie z.B. bei der Reihenentwicklung vom Sinus, so kann es durchaus sein, dass du unendlich viele Nullstellen hast.

Comments

Vielen Dank für deine Antwort LC !