Involutionen: Warum tauscht f die Vorzeichen von x-y und von z?

Question

Ich habe die Menge S:={(x, y, z) ∈ ℤ³ : 4xy + z² = p, x> 0, y> 0}

Und die Involution von f: S → S, mit (x, y, z) ↦ (y, x, -z).

Gesagt wird (und das ist ja noch klar), das f die Lösungen in

T: {(x, y, z) ∈ s: z > 0} (also alle Lösungen der obigen Gleichung mit z > 0)

auf die Menge S\T ab. (Auch noch logisch).

Aber dann heißt es, dass f folglich die Vorzeichen von x-y und von z vertauscht .

 

Warum vertauscht diese Involution die Vorzeichen von x-y?

 

 

Dringend!

 

Danke an euch klugen Köpfe im Voraus

Answer 1

Es wird vielleicht sinniger, wenn du die Abbildung f anders schreibst:

f(x, y, z) = (u, v, w) mit

u = y
v = x
w = -z

Betrachtet man nun den Vektor f(x, y, z) so ist seine x-Komponente u und seine y-Komponente ist v, wenn man also die Differenz seiner x und y Komponente berechnet, dann ist das u-v = y-x = -(x-y) also genau das entgegengesetzte Vorzeichen als wenn man diese Differenz für das Urbild gebildet hätte.

Comments

Mittlerweile hatte ich auch einen Geistesblitz und habe es gemerkt;-).

Aber danke trotzdem, deine Version ist nochmal etwas besser Formuliert.

Ich setze gleich mal noch eine Frage rein, denke da wirst du mir auch helfen können.:-)