Involutionen (Teil 2). Mächtigkeit von Teilmengen vergleichen.

Question

Ich habe die Menge S:={(x, y, z) ∈ ℤ³ : 4xy + z² = p, x> 0, y> 0}

Und die Involution von f: S → S, mit (x, y, z) ↦ (y, x, -z).

f bildet [wie vorhin besprochen ;-)] die Lösungen aus

T:= {(x, y, z) ∈ S: z> 0} in S\T ab.

Und die Lösungen aus

U:= {(x, y, z) ∈ S: (x-y)+z>0} in S\U ab.

Warum gilt dann ΙTΙ = 1/2 ΙSΙ = ΙUΙ?

Bemerkung

IΙ sollen keine Betrag-Striche sein, sondern die Kardinalität (Mächtigkeit) kennzeichnen.

 

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Answer 1

Weil für x, y und z nur ganze Zahlen zulässig sind, sind das alles endliche Mengen, denn es gilt, ausgehend von der Definitionsgleichung

4xy + z² = p

und wegen x > 0, y>0 (der linke Term ist also stets positiv)

1.) z ∈ [-√p, √p]

2.) x, y ∈ ]0, p/4]

In diesen Intervallen liegen aber nur endlich viele ganze Zahlen, also können auch nur endlich viele Tupel (x, y, z) die Gleichungen lösen.

Damit sind |T|, |S| und |U| für gegebenes p feste Zahlen.

Da f als Involution bijektiv ist, gilt:

|T| = |f(T)| = |S\T|

Und wegen T∪S\T = S folgt |S| = 2*|T|

Dieselbe Argumentation gilt auch für U:
Mit |U| = |f(U)| = |S\U| ⇒ |S| = 2*|U|

Damit folgt |T| = |S|/2 = |U|

Comments

Du studierst eindeutig das richtige ;-)

 

Vielen Dank, sehr plausibel!