Bestimmen Sie die Punkte P,Q und den Flächeninhalt F des grau markierten Dreiecks.

Question

die Ausgangsfunktion ist wobei die Funktion der Parabel y=1-x^2 ist!
Ich bin grade auch selber an der Aufgabe und schicke meine Ansätze nach. Habe daran gedacht ob ich die Normalen evt. als Winkelhalbierende sehen kann und auf diese Weise weiterkomme? Das wäre aber nicht bewiesen...

Answer 1

Deine Skizze ist duch die vielen handschriftlichen Einträge
reichlich schwer zu deuten.

Gegebenheiten
f ( x ) = 1 - x^2
Der Winkel im Punkt 0 ist 90 °.

Die Gerade g ( untere rechte Gerade des Drachenvierecks von
Punkt 0 ausgehend ) ist  bei einem Steigungswinkel von 45 °
g ( x ) = 1 * x = x

Zur meiner Lösung wird die Differentialrechnung benötigt.

Schnittpunkt
f ( x ) = g ( x )
1 - x^2 = x
x^2 + x = 1  | pq - Formel oder quadr. Erg.
x^2 + x + (1/2)^2 = 1 + 0.25
( x + 1/2 ) = 1.25
x + 1/2 = ± √ 1.25
x = ± 1.118 - 1/2
x = 0.618
( Der andere Schnittpunkt entfällt durch den Sachzusammenhang )

Probe
g ( 0.618 ) = 0.618
f ( 0.618 ) = 1 - 0.618^2 = 0.618

P ( 0.618  | 0.618 )

Steigung im Punkt P
f ´ ( x ) = -2x
f ´ ( 0.618 ) = -2*0.618 = -1.236
Tangentengleichung im Punkt P
y = m * x + b
0.618 = -1.236 * 0.618 + b
b = 1.3818
y = -1.236 * x + 1.3818

Die Tangente schneidet die y-Achse bei 1.3818

Q ( 0  | 1.3818 )

Die rechte Seite des Drachenvierecks hat die Fläche
Grundseite 1.3818, Höhe 0.618
F = 1.3818 * 0.618 / 2
Die rechte und linke Seite
F = 1.3818 * 0.618 / 2 * 2
F = 0.854

Ich weiß nicht ob es irgendwie einfacher geht.

mfg Georg

Comments

Ich glaube, das mit dem 90° Winkel im Nullpunkt hat der

Fragesteller hineininterpretiert. Ich dachte die Geraden sind

Normalen für die Parabel.

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Der Winkel im Punkt 0 sieht mir eher wie " gedruckt " rechtwinklig aus.
Beim Schnittpunkt P sehen mir die rechten Winkel eher wie handschriftlich
aus.
Ich warte es ab was der Fragesteller meint.

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Na, da bin ich auch mal gespannt.

Jedenfalls hat er ja jetzt beide Möglichkeiten zur Hand.

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Hier meine Lösung
Die Skizze ist etwas grob.

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Hier noch die Beantwortung der Frage

f ( a ) = 1 - x^2 = 1 - 0.707^2
f ( a ) = 1/2
f ´( a ) = -2*0.707 = -1.414

Tangentengleichung
1/2 = -1.414 * 0.707 + b
b = 1.5

1 Seite
F = 1.5 * 0.707 / 2 = 0.53

Gesamtes Drachenviereck
F = 1.06

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Na das ist aber wirklich schön geworden.

Und ganz genau ist die Fläche (es gibt ja so Präzisionsfanatiker)

A = 3 / ( 2* wurzel(2))

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Du hast bei deiner Lösung natürlich wesentlich mehr erklärt.

Bei meiner handschriftlichen Lösung gefällt mir die Kürze.

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Vor allem das Bild ist top.

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Das ist das Verdienst des Matheprogramms " MuPad ".

Answer 2

Die Geraden durch (0/0) sind Normalen der Parabel ? (scheint so gegeben ?)

Wenn (a/b) der Schnittpunkt mit der Parabel ist, dann gilt für die Steigung der Geraden 

m = -1 / f ' (a)   = -1 / -2a = 1/ 2xa  und damit für die Geradengleichung  y = 1/ (2a)  * x

Da der Punkt P (a/b) auf Parabel und Gerade liegt

b = 1/2a * a    und    b =  1 - a^2

b= 1/2                     1/2 = 1 - a^2

b=1/2                     -1/2 = -a^2 

b=1/2                     a = 1/ wurzel(2)  wenn wir den Punkt im ersten Quadranten nehmen:

                 P ( 1/ wurzel(2)    /   1/2 )

Die Tangente in diesem Punkt hat die Steigung f ' (a) = - 2a = - wurzel(2) 

Also Tangentengleichung  y = - wurzel(2) * x + n und P einsetzen gibt

       1/2  =   - wurzel(2) * 1 / wurzel(2) + n

      1/2  =   - 1   + n

1,5 = n              also Q   (  0 / 1,5 ) 

Für die Fläche , die in zwei zur y-Achse symmetrisch liegende Dreiecke zerfällt also

2 * A_Dreieck = 2 * 1/2 * g * h = g * h = 1,5 * 1/wurzel(2) =   3 /  ( 2*wurzel(2) )

Comments

Danke erst mal für die Antworten , ich werde mir jetzt alles in Ruhe anschauen & versuchen nachzuvollziehen. Anbei ein besseres Bild der Graphik, tut mir Leid dasss das vorherige Bild so irreführend war, LG

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eine Frage zu diesem Schriit:

Also wenn der Schnittpunkt von Normale und Parabel gesucht wird rechen ich immr -1/f ' (a) , wobei a der x-Wert des Punktes ist . (?)

m = -1 / f ' (a)   = -1 / -2a = 1/ 2xa  und damit für die Geradengleichung  y = 1/ (2a)  * x

Wo kommt da plötzlich das x her? In dem Term davor war es doch durch a ersetzt? Setze ich das a für x ein?
Und y=mx+b -> Ich habe doch eigentlich erstmal nur die Steigung der Normalen, nicht ihre Gleichung? Wie hast du die Gleichung ausgerechnet?

b = 1/2a * a    und    b =  1 - a²  hier genauso: 1/2ax oder 1/2aa ?


LG

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a = 1/ wurzel(2)  -> ist das so weil die Wurzel aus 1/2 = 1/Wurzel(2) ist???

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Da in der Skizze keine Winkel angegeben sind gibt es
unendlich viele mögliche Drachenvierecke.

Oder ist die Aussage gegeben : die Verbindung
Tangentenberührpunkt nach = O ist die Normale
zur Tangenten mit 90 ° Winkel.

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Nein es ist nur y=1-x^2 gegeben! Und das das Viereck durch zwei Tangenten und zwei Normale entsteht!

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Das war meine Frage : die beiden Geraden stehen im Winkel von 90 °
zueinander.

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DIe Tangente in diesem Punkt hat die Steigung f ' (a) = - 2a = - wurzel(2) 

ab hier komme ich nicht weiter : f'(a)=-2a aber dann blick ich nicht mehr durch gerade..

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Weitere Angaben zur Aufgabe : Winkel etc. gibt's leider nicht!

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DIe Tangente in diesem Punkt hat die Steigung f ' (a) = - 2a = - wurzel(2) 

ab hier komme ich nicht weiter : f ' (a)=-2a aber dann blick ich nicht mehr durch gerade..

Der Punkt P hat doch die Koordinaten    P ( 1/ wurzel(2)    /   1/2 )

Soweit war es noch klar ?

und    1/ wurzel(2)   =  wurzel(2) /  2 das ist das gleiche (Erweitern mit wurzel(2) )

So, jetzt kommt die Tangente ins Spiel: Die hat  im Punkt (x/y) die Steigung - 2x 

Hier ist aber x = 1/ wurzel(2)   =  wurzel(2) /  2

wenn man das für x einsetzt, wird aus -2 a eben  -2 *   wurzel(2) /  2 = -   wurzel(2) .

Damit hast du als Steigung der Tangente m= -   wurzel(2) 

Jetzt die Tangentengleichung, allgemein y= m*x + n, wegen  m= -   wurzel(2) also

  y=   - wurzel(2)  * x + n  und weil P auf der Tangente liegt,

kann man die Koordinaten von P für x und y einsetzen, das gibt dann

  1/2  =   - wurzel(2) * 1 / wurzel(2) + n also n=1,5 

So klarer ? Sonst frag noch mal nach.