Gleichung der Tangente an y=e^x durch (0|0). Welche Koordinaten hat der Berührpunkt?

Question

Geben Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von y=e^x an, die durch (0|0) geht. Welche Koordinaten hat der Berührpunkt?

Answer 1

Da die Tangente durch (0|0) gehen soll, muss

g(x) = m*x

gelten.

Außerdem gilt für den Berührpunkt:

g(a) = ma = f(a) = e^a

g'(a) = m = f'(a) = e^a

Damit folgt a = 1 und m = e, also

g(x) = e*x

und der Berührpunkt lautet

P(1|e)

 

 

Comments

Um sicher zu sein, dass es sich tatsächlich um einen Berührpunkt handelt und nicht etwa um einen Schnittpunkt, muss noch  g''(1) ≠ f''(1)  gezeigt werden.

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Das ist nicht richtig.

Definitionsgemäß liegt ein Berührungspunkt vor, wenn zwei Funktionen in einem gemeinsamen Punkt eine gemeinsame Tangente besitzen.

Dafür ist es notwendig und hinreichend, dass

f(x) = g(x)
f'(x) = g'(x)

gilt. Über die höheren Ableitungen wird keine Aussage gemacht.

Verallgemeinert spricht man von einer Berührung n-ter Ordnung, wenn gilt

f(x) = g(x)
f'(x) = g'(x)
f''(x) = g''(x)
...
f⁽ⁿ⁾(x) = g⁽ⁿ⁾(x)

wenn also der Funktionswert und alle bis zur n-ten Ableitung übereinstimmen.

Answer 2

Geben Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von \(y=e^x\) an, die durch \(P(0|0)\) geht. Welche Koordinaten hat der Berührpunkt?

\(y'=e^x\)

\( \frac{y-0}{x-0}=e^x \)    \( y=x e^x \) 

\( x e^x=e^x \)     \( x e^x-e^x=0 \)

\(  e^x(x-1)=0 \)    \(  e^x≠0 \)           \( x=1 \)        \(y=e\)

 \(B(1|e)\)

Gleichung der Tangente:

\(\frac{y-0}{x-0}=\frac{e-0}{1-0}\)

\(y=e \cdot x\)