Konvergenzradius der geometrischen Reihe

Question

Ich habe folgendes Problem. ich soll von der geometrischen Reihe$$ -\sum _{ n\quad =\quad 0 }^{ \infty  }{ { 4 }^{ n } } { x }^{ 2n+1 } $$
den Konvergenzradius berechnen und die Konvergenz in den Randpunkten untersuchenich bekomme dabei ±1/2 heraus.Das ist nach der Lösung auch richtig. Nun bestimme ich die Konvergenz in den Randpunkten. Nunja Konvergenz bei geometrischen Reihen ist ja recht einfach, wenn 0<ΙxΙ<1 dann konvergiert die Reihe und wennΙxΙ≥ 1 ist divergiert sie. (es gibt noch 2 weitere punkte aber die spielen hier keine rolle deswegen lasse ich sie weg.)Also würde ich das folgende herausbekommen. im Randpunkt 1/2 konvergent im Randpunkt -1/2 divergent.Laut Lösung soll die Reihe jedoch in beiden Randpunkten divergieren?Verstehe ich bei den Konvergenzkriterien der geometrischen Reihe etwas falsch??

Answer 1

Du musst ja 1/2 für x einsetzen, dann hast du
4^n * (1/2) ²ⁿ⁺¹ =  4^n / ( 4ⁿ*2)  = 1/2 also haben alle Summanden den Wert 1/2 folgt Divergenz.
wenn du -1/2 einsetzt ist es wegen des ungeraden Exponenten immer -1/2 deshalb auch hier Divergenz
denn eine unendliche Summe kann nur konvergieren, wenn die Summanden gegen 0 gehen.

Comments

hmm.. irgendwie steh ich auf dem schlauch und verstehe das nicht so ganz.Ich schaue mir doch nur den Wert x an oder nicht? ist dieser wert 0<x<1 => konvergenzx>= 1 divergenz (also betrag von x)da 1/2 doch konvergent ist, berechne ich den Wert mit der formel a/(1-x)daraus folgere ich das der Wert für x = 1/2  2 ist oder nicht???

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wenn du den Wert einsetzt, wie kommst du dann auf 4ⁿ / (4ⁿ *2) = 1/2 ??

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4ⁿ * (1/2) ²ⁿ⁺¹ =

4^n * 1 ²ⁿ⁺¹ / 2 ²ⁿ⁺¹ =

4^n  / 2 ²ⁿ⁺¹ =

4^n  / ( 2 ²ⁿ * 2 ¹ ) =

4^n  / ( 4 ⁿ * 2  ) = 1/2

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ah okay.

aber wieso folgt daraus divergenz?

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wenn alle Summanden den Wert 1/2 haben und du hast davon unendlich viele,

wird die Summe alle Grenzen überschreiten, jedenfalls keinen endlichen GW haben.