Sei (an) eine Folge positiver reeller Zahlen... und ∑ an := q+1+q^3+q^2+q^5+q^4+q^7+q^6+ ...

Question

kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen:

 

1) sei (an) eine Folge positiver reeller Zahlen und a_n+1  / a_n sei beschränkt. Zeigen sie

lim inf (a_n+1/a_n) ≤ lim inf ⁿ√ a_n  ≤ lim sup ⁿ√a_n ≤ lim sup (a_n+1 / a_n)

 

2) betrachten sie für 0< q < 1 die Reihe

∑ a_n := q+1+q³+q²+q⁵+q⁴+q⁷+q⁶+ ...

d.h. a₁=q , a₂= 1 , a₃= q³ , a₄= q² usw.

zeige sie:

a) ∑ a_n  ist konvergent

b) lim inf | ( a_n+1 / a_n) | < 1 < lim sup | ( a_n+1 / a_n ) |   welche Aussage liefert das Quotientenkriterium?

c) lim sup ⁿ√ | a_n |  < 1 . was folgt aus dem Wurzelkriterium?

 

Kann mit bitte einer helfen

Comments

2)a)

∑ a_n := q+1+q³+q²+q⁵+q⁴+q⁷+q⁶+ ...
=  q+1+q^2 (q+1)+q^4 (q+1)+q^6 (q+1) + …
=  q+1+r (q+1)+r^2 (q+1)+r^3 (q+1) + …
 

Ist eine konvergente geometrische Reihe.
Grund: da 0<q<1 ist  0 < r = q^2 <1.
Zudem ist q+1 der erste Summand endlich.

1) sieht aus wie wenn du die Beweise für die Berechnung des Konvergenzradius miteinander vergleichen solltest.

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Hab bis jetzt nur folgenden Ansatz zur 2:

Ist eine konvergente geometrische Reihe.
Grund: da 0<q<1 ist  0 < r = q² <1.
Zudem ist q+1 der erste Summand endlich.