Aufgabe:
(Alle Antworten sind mit Rechnung zu begründen)
Der Output eines Teams aus \( n \) Agenten wird durch die Produktionsfunktion \( T(e)=\sqrt{\sum \limits_{i=1}^{n} 2 e_{i}^{2}} \) beschrieben, wobei \( e_{i} \) das Anstrengungsniveau jedes Agenten bezeichnet.
Alle Agenten haben das gleiche Arbeitsleid in Höhe von \( C\left(e_{i}\right)=\frac{1}{2} e_{i}^{2} \) zu tragen und seien risikoneutral. Der Nettonutzen jedes Agenten beträgt \( \frac{1}{n} T(e)-C\left(e_{i}\right) . \)
a) Angenommen, ein Team bestehe aus zwei Agenten. Welches Anstrengungsniveau \( \hat{e}_{i} \), würde ein Agent für sich selbst wählen, wenn er ausschließlich seinen individuellen Nettonutzen maximieren will? Nehmen Sie an, die Lösung sei symmetrisch.
b) Angenommen, das Team bestehe nun aus drei Agenten. Welches Anstrengungsniveau \( \bar{e}_{t} \) würde ein Agent für sich selbst wählen, wenn er ausschließlich seinen individuellen Nettonutzen maximieren will? Nehmen Sie an, die Lösung sei symmetrisch.
c) Vergleichen Sie die Ergebnisse aus a) und b). Was fält Innen auf? Woran könnte das liegen?
Musterlösung:
a) Ein Agent, der ausschließlich seinen eigenen Nettonutzen maximieren will, hat das folgende Maximierungskalkül:
\( \begin{aligned} \max _{e_{i}} \frac{1}{2} T(e)-C\left(e_{i}\right) &=\max _{s} \frac{1}{2}\left(\sum \limits_{i=1}^{n} 2 e_{i}^{2}\right)^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2} e_{i}^{2} \\ &=\max _{6} \frac{1}{2}\left(2 e_{1}^{2}+2 e_{2}^{2}\right)^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2} e_{i}^{2} \end{aligned} \)
Wegen der Symmetrie genügt es, Stürmer 1 als den repräsentaten Agenten zu betrachten:
B.E.O.:
\( \frac{\partial\left(\frac{1}{2} \sqrt{2 e_{1}^{2}+2 e_{2}^{2}}-\frac{1}{2} e_{i}^{2}\right)}{\delta e_{1}} \square 0 \Leftrightarrow \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 e_{1}^{2}+2 e_{2}^{2}}} \cdot 4 e_{1}-e_{1}=0 \)
(wegen der Symmetrie \( e_{1}^{*}=e_{2}^{*} \) )
\( \hat{e}_{i}=\frac{1}{2} \)
Das optimale Anstrengungsniveau, das ein Agent für sich wählen würde, beträgt \( \hat{e}_{i}=\frac{1}{2} \)
