Wieso sind folgende Terme äquivalent? Integral über t^3/(t+1) und über t^2 -t + 1 - (1/(t+1))?

Question

Ich kann einfach nicht nachvollziehen warum die folgenden Integrale äquivalent sein sollen. Die umformunsschritte sind mir einfach nicht schlüssig.

$$ 6*\int { \frac { { t }^{ 3 } }{ { t+1 } }  } dt\quad =\quad 6*\int { ({ t }^{ 2 } } -t+1-\frac { 1 }{ t+1 } )dt $$

Comments

Dich interessiert, ob

t^3/(t+1) = t^2 -t + 1 - (1/(t+1)) ?

Integrale stimmen in der Regel nur bis auf die (allenfalls unterschiedliche) Integrationskonstante C überein.

Answer 1

zum Nachprüfen brauchst du ja nur das rechte auszurechnen:

(t^2 - t + 1)  - 1 / (t+1) =

(t^2 - t + 1)(t+1) / (t+1)    - 1 / (t+1) =

(t^3 + 1) / (t+1)  -   1 / (t+1) =   (  t^3 + 1 - 1 ) / (t+1 ) passt !

Um selber darauf zu kommen, machst du am besten eine Polynomdivision,
würde etwa so gehen

t^3      :  ( t+1 )   =   t^2   - t   + 1
t^3 + t^2
-----------
       - t^2
        -t^2  -  t
       -----------
                 t  
                 t + 1
                _____
                      -1    ist der Rest, also oben noch +  -1 / (t+1) dahinter