Wie berechne ich die Nullstelle von f(x)= (x+2)*e^{0.5*x}-2?

Question

 

Wie kann ich folgende Gleichung nach x auflösen?:

(x+2)*e^{0.5*x}-2=0 

 

Comments

Wenn -2 nicht im Exponenten steht, brauchst du da ein numerisches Verfahren. Z.B. Newtonverfahren.

Bist du sicher, dass du genau diese Gleichung lösen musst?

Eine Lösung x= 0 sieht man übrigens gleich.

Answer 1

wie du nach x umstellen kannst weiß ich leider nicht.
Man " sieht " aber x = 0

Answer 2

Schöne Aufgabe, die ich mal statt der starren 2 gleich universell mit der Variablen a löse:  

Bekannt ist die Umkehrfunktion zu x * e^x : LambertW(x) , also dahin umformen: 

e^{x/2}*x + 2 e^{x/2} = a | /2  

e^{x/2}*x/2 + 2/2 e^{x/2} = a/2 | Substitution u = x/2 

e^u * (u +1) = a/2 | *e

e^{u+1}*(u+1) = a*e/2 | Subst2: k=u+1 

e^k * k = a * e/2 | Umkehrfunktion

k = LambertW(a *e/2) | Rück2: 

u = LambertW(a *e/2)-1 | Rück1

x = (LambertW(a *e/2)-1)*2 

mit a = 2 wird daraus 

x1= (LambertW(2 *e/2)-1)*2  = (1-1)*2 = 0  

die LambertW hat aber noch einen komplexen Zweig mit 1. Parameter -1 siehe 

http://www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php

x2=(LambertW(-1, 2 *e/2)-1)*2 = -3.0641842439727598109079877-9.194316026605146554324648128 i

Probe dieser komplexen Zahl kann jeder mit Wolfram Alpha testen, der mir nicht glaubt.

Aber vermutlich ist das vielen wieder viel zu hoch und der Lehrer will nur Spezialfall-Antworten wie "man sieht sofort, dass (0+2)*e^0 -2 =0 ist, da 2-2=0 ...

Comments

e^0.5x ist ungleich 0 --> somit rausstreichen 

dann bleibt x+2-2=0 

also x=0 

Man muss immer einfach denken und nicht unnötig schwer ;)

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Man muss aber auch immer richtig denken.

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Einige Lehrer suchen absichtlich immer nur leichte Spezialfälle heraus. 

Ich denke immer universell ... und meine Antworten sind nicht für Lehrer.

Sobald jedoch praktische Aufgaben (reale Messergebnisse) gelöst werden sollen, und a nicht 2 sondern ein "krummer Wert" ist, wird man ohne  

x1 = (LambertW(0,a *e/2)-1)*2 

x2 = (LambertW(-1,a *e/2)-1)*2  

nicht diese beiden exakten Ergebnisse bekommen.

Außerdem ist e^{0.5 *(-∞)} = 0 

auch wenn einige wieder antworten werden "aber mein Lehrer (oder Schulbuch) hat gesagt, dass Exponential... nie 0..." -> aber -∞ (minus unendlich) ist auch ein (Zwischen-)Ergebnis 

-> nur eben eines, das nicht als Zahl ausdrückbar ist...