Hallo liebes Forum :) !
Hier die Aufgabe(n):
Aufgabe \( 5 . \)
Berechnen Sie die Fourier-Reihen der folgenden Funktionen (jeweils periodisch auf ganz \( \mathbb{R} \) fortgesetzt
(a) \( f_{1}(t)=t(0<t<2 \pi) \)
(b) \( f_{2}(t)=\left\{\begin{array}{ll}{1,} & {0<t<\pi} \\ {0,} & {\pi<t<2 \pi}\end{array}\right. \)
Aufgabe \( 1 . \)
Berechnen Sie die Fourier-Reihen der folgenden Funktionen (jeweils periodisch auf ganz \( \mathbb{R} \) fortgesetzt)
(a) \( f(t)=t(-\pi<t<\pi) \)
(b) \( f(t)=\left\{\begin{array}{ll}{0} & {-2<t<-1} \\ {1} & {-1<t<+1} \\ {0} & {+1<t<+2}\end{array}\right. \)
(c) \( f(t)=\frac{(\pi-t)^{2}}{4}(0 \leq t \leq 2 \pi) \)
Meine Frage:
Es ist ja möglich, die Berechnung der Fourierkoeffizienten etwas zu vereinfachen, wenn die Funktion entweder gerade oder ungerade ist (das ist mir klar wie das geht). Doch dazu muss man die Funktionen erst noch Prüfen, ob diese gerade bzw. ungerade sind und dabei habe ich meine schwierigkeiten.
Meine Berechnungen zu 5 a)
\( T<0 \text { und im Intervall } [10, T]\ \) \(integrierbar folgt =>f(t+T)=f(t) \)
Hier ist \( T=2 \Pi \)
Prüfen ob gerade? \( f(-t+2 \pi)=f(t+2 \pi) => \) stimmt nicht überein!
Prüfen ob ungerade? \( f(-t+2 \pi)=-f(t+2 \pi) => \) stimmt nicht überein!
folglich muss ich alle Fourierkoeffizienten ausrechnen! Stimmt das?
Meine Berechnung zu 5 b):
Die Funktion ist über das Intervall \( 10, T] \) integriert, wobei\( \quad T=2 \pi \) ist, zudem ist \( T>0 \)
Somit folgt \( f(t+2 \pi)=f(t) \)
Doch wie soll ich hier etwas überprüfen, da die Funktion entweder 0 oder 1 annimmt? Ich kann hier ja nicht (wie bei 5a) etwas für \( t \) einsetzen, da kein t vorhanden ist?
Wie kann man hier sagen, dass sie ungerade oder gerade oder sogar gar nichts davon ist?
Meine Berechnung 1 a)
Funktion \( f(t) \) ist über normalen Intervall \( [-\pi, \pi] \) integrierbar, mit \( T=2 \pi \)
Prüfen ob ungerade? \( f(-t)=-t=-f(t)=-t=> \) stimmt somit Funktion ungerade
Meine Berechnung zu 1 b)
Funktion ist über normalen Intervall [-2,2] integrierbar, mit T=4
Prüfen, ob Fkt. gerade oder ungerade ist?
wie? wo,wie, was soll man miteinander vergleichen?
Meine Berechnung zu 1c):
Intervall besitzt die Form [0,T] mit T=2pi und T>0 somit gilt f(t+2pi)=f(t)
wenn man nun auf gerade/ungerade prüft, dann erhalte ich, dass die Fkt. gerade ist, da eingesetzt
(pi-(-t+2pi)2 = (pi-t)2
Ich bitte euch wirklich um eure Mithilfe! Ich sitze jetzt schon mehrere Tage an diesen Aufgaben! Die Berechnung der eigentlichen Fourierreihen ist kein Problem. Doch vorher zu prüfen, ob die vorliegenden Funktionen gerade oder ungerade sind, ist mein Problem.
Aus der einfachen Mathematik kennt man ja:
f(t)=f(-t) gerade Funktion
f(-t)=-f(t) ungerade Funktion
die gilt aber nur für "normale" Grenzen der Form [-a,a]
Dann gibt es noch die "Regelung/Satz":
wenn die Grenzen von [0,T] gehen und T>0 ist und zudem ganzperiodisch dann folgt f(t)=f(t+T)
Diese Regeln habe ich verstanden, doch ich bitte euch zu überprüfen, ob ich diese richtig angewendet habe und mit zu beantworten, was ich bei Funktionen der Art 1 b) oder 5 b) mache ? da sind ja nur Zahlen 0,1,-1 gegeben für die jeweiligen Grenzen!
Vielen vielen vielen dank für eure Hilfe :)!
