Suche Lösung/Lösungsweg für die Gleichung: Sinh (x+1)=1

Question

Ich suche eine Lösung bzw. den Lösungsweg  für die folgende Gleichung:

Sinh (x+1)=1

->1/2*(e^{x+1}- e^{-(x+1)}) = 1
-> (e^{x+1}- e^{-x-1}) = 2 

Nun muss ich irgendwie den ln anwenden, weiß aber nicht weiter

Das Ergebnis sollte übrigens laut Musterlösung ln( 2^0,5 +1 ) -1 sein
Kann abe rnicht nachvollziehen wie man dadrauf kommt

Answer 1

bis hierhin ok:
(e^x+1- e^-x-1) = 2    und jetzt machst du am besten eine Substitution  z=e^x+1 dann ist e^-x-1 = 1/z
weil der Exponent genau entgegengesetztes Vorzeichen hat, also
z - 1/z = 2   | *z
z^2 - 1 = 2z
z^2 - 2z - 1 = 0  pq-Formel oder so

z= 1+wurzel(2) oder z = 1 - wurzel(2)

jetzt Subst. rückgängig:   e^x+1 = 1+wurzel(2)   [Die andere Lösung klappt nicht, da e hoch.... nie negativ ist]
                           x+1 = ln(1+wurzel(2))

                          x= -1 + ln(1+wurzel(2))

Comments

Danke für die schnelle Antwort. :) wäre jetzt nicht auf die idee gekommen  die ganze gleichung mal z bzw. e^x+1 zu nehmen. Aber wenn mans weiß ist es nachvollziehbar