Geben Sie eine geschlossene Formel für a_{n} an und zeigen Sie diese mit Induktion.

Question

Aufgabe - Rekursive Folge, Definition Grenzwert:

Für die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) gelte \( a_{1}=\frac{1}{2} \) und \( a_{n}=\left(a_{n-1}^{-1}+2\right)^{-1} \) für \( n \geqq 2 \).

(a) Geben Sie eine geschlossene Formel für \( a_{n} \) an und zeigen Sie diese mit Induktion.

(b) Sei \( \varepsilon>0 \) gegeben. Finden Sie dazu ein \( n_{\varepsilon} \) so, dass \( \left|a_{n}\right|<\varepsilon \) ist für \( n>n_{\varepsilon} \).

(c) Bestimmen Sie \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n} \) und begründen Sie Ihre Antwort mittels (b).

(d) Für welche \( q \in \mathbb{R} \) ist \( \left(a_{n}+q(n+1)^{-1}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) streng monoton fallend?

Answer 1

Also die ganze 54:

bei a) musst du auch wieder ein paar Glieder ausrechnen und siehst:

a_n = 1 / 2n

Induktion:  n=1 ist wohl klar 1 / 2*1 =  1/2

wenn die Formel für n gilt, dann ist ja

a_n+1 = a_n^{-1} +2 ) ^{-1} = ((1/2n)^{-1} +2 ) ^{-1}

= ( 2n + 2)^{-1} = 1 / ( 2n+2) = 1 / ( 2*(n+1))

Also gilt die Formel auch für n+1 .

b) Damit    |a_n| < ε  gilt muss also   1 / 2n < ε sein  (Betrag spielt keine Rolle, da alles positiv.

also 1 < 2n ε   also   1 / 2 ε  <  n

Also: wenn n >   1 / 2 ε    dann ist   |a_n| < ε    also gilt dann | an - 0 |  < ε 

und das ist die Grenzwertdef. für den Grenzwert 0.

c) Wie in b) gezeigt ist der Grenzwert 0, kann man aber auch so einsehen:
Der Zähler ist immer konstant 1 und der Nenner 2n wird beliebig groß. Also GW=0
d) Diese Folge b_n = a_n + q*(n+1)^{-1}   ist st. mon. fallend, wenn
b_n - b_n+1 > 0 für alle n gilt.
b_n - b_n+1 =  a_n + q*(n+1)^{-1} - (  a_n+1 + q*(n+2)^{-1} )   wegen a) ist das:
                = (1/2n)  + q*(n+1)^{-1} - (  1/(2n+2)   + q*(n+2)^{-1} ) 
             = (1/2n) -   1/(2n+2)   + q/(n+1)  - q/(n+2)
            =  1 / ( 2 * n * (n+1) )  + q / (( n+1)*(n+2) )
            = (n+2   +    2*n*q ) /  (2 * n* (n+1) * (n+2) )
Damit das größer Null ist, muss
n+2+2nq > 0 sein. Damit dies für alle n der Fall ist muss q ≥ 0 sein.