Question

Wie kann man zeigen, dass \(a_n = \frac{1}{2^n}\) eine Nullfolge ist? Man weiß ja bereits, dass \(\frac{1}{n}\) eine Nullfolge ist, und dass man es mit der Epsilon-Definition beweisen kann. Aber wie würde so etwas aussehen mit n als Potenz? z.B.  \(\frac{1}{2^n}\)? Wie wählt man N?

Answer 1

\(a_n = \frac{1}{2^n}\) ist eine Nullfolge

<=>  Zu jedem ε>0 gibt es ein N mit n>N ==>   \(| \frac{1}{2^n} - 0 | \lt \varepsilon\)

Sei also ε>0   ==>    \(| \frac{1}{2^n} - 0 | \lt \varepsilon\)

                          <=>    \( \frac{1}{2^n}  \lt \varepsilon\)

                      <=>    \( ln(  \frac{1}{2^n} )  \lt ln( \varepsilon )  \)

                      <=>    \( n \cdot ln(  \frac{1}{2} )  \lt ln( \varepsilon )  \)

                           Bedenke <=>    \(  ln(  \frac{1}{2} )  \lt 0  \)

                     <=>    \( n \gt ln( \varepsilon ) \cdot ln(  \frac{1}{2} ) \)

          Also ist   \(| \frac{1}{2^n} - 0 | \lt \varepsilon\) für   \( n \gt ln( \varepsilon ) \cdot ln(  \frac{1}{2} ) \) erfüllt.

Wähle also N als natürliche Zahl   \(  \ge ln( \varepsilon ) \cdot ln(  \frac{1}{2} ) \),

die es nach dem Axiom des Archimedes gibt.