Zeigen, dass a_n eine monoton fallende Nullfolge a_n \frac{n+1}{n^2}

Question

Aufgabe:

Zeigen, dass a_n eine monoton fallende Nullfolge a_n \( \frac{n+1}{n^2} \)

Problem/Ansatz:

Wie zeigt man hier, dass sie eine monoton fallende Nullfolge ist? Muss ich erst ableiten oder umformen?

Answer 1

Umformen ist eine gute Idee (aber nicht zwingend notwendig): \(a_n=\dfrac{n+1}{n^2}=\dfrac1n+\dfrac1{n^2}\).
Nun ist \(a_n-a_{n+1}=\underbrace{\left(\dfrac1n-\dfrac1{n+1}\right)}_{>0}+\underbrace{\left(\dfrac1{n^2}-\dfrac1{(n+1)^2}\right)}_{>0}>0\).
Das heißt, dass die Folge \(\lbrace a_n\rbrace\) monoton fallend ist. Außerdem ist
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\frac1n+\lim_{n\to\infty}\frac1{n^2}=0+0=0\).

Comments

Vielen vielen Dank für die Antwort!