Das Thema ist Anfangswertproblem:Diagonalisierung

Question

Gegeben sind zwei Anfangswertprobleme

\( \frac{d \vec{y}(t)}{d t}=A \vec{y}(t), \quad \vec{y}(0)=\overrightarrow{y_{0}} \)
Gesucht ist jeweils die Lösung \( \vec{y}(t) \).
a) \( A \in \mathbb{R}^{2,2} \) und \( \overrightarrow{y_{0}} \in \mathbb{R}^{2} \) sind im Applet gegeben. Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems, indem Sie \( A \) diagonalisieren.
b) \( A \in \mathbb{R}^{3,3} \) und \( \overrightarrow{y_{0}} \in \mathbb{R}^{3} \) sind im Applet gegeben. Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems, indem Sie \( A \) diagonalisieren.

Comments

a) vgl. hier: https://www.mathelounge.de/207769/anfangswertproblemen-linearkombination-eigenvektoren

Am besten gibst du gleich die Resultate der vorhergehenden Teilaufgaben an. Könnte ja sein, dass man die zum Weiterrechnen brauchen kann.

Answer 1

Hi,
ich mach das mal für die Aufgabe (b). Aufgabe (a) geht genauso ist aber einfacher. Du musst zuerst die Eigenwerte bestimmen aus der Gleichung
$$ \left| \det (A) - \lambda E \right| = -(\lambda -1 )(\lambda + 1)^2 $$ Damit sind die Eigenwerte \( \lambda_1 = 1 \) und \( \lambda_2 = -1 \)
Nun muss man die Eigenvektoren bestimmen, das ergibt
$$ v_1 = \begin{pmatrix} -10\\1\\0 \end{pmatrix} $$
$$ v_2 = \begin{pmatrix} 6\\0\\1 \end{pmatrix} $$
$$ v_3 = \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} $$

Damit hat man die Matrix \( S = \begin{pmatrix} -10 & 6 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0  \end{pmatrix} \)

Die Matrix \( D \) sieht so aus

$$ D = S^{-1}AS = \begin{pmatrix}  -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1  \end{pmatrix} $$
Damit ergibt sich
$$ y(t) = S \begin{pmatrix}  e{-t} & 0 & 0 \\ 0 & e^{-t} & 0 \\ 0 & 0 & e^t  \end{pmatrix} S^{-1}y_0 = \begin{pmatrix} 18e^{-t}-17e^t\\0\\3e^{-t} \end{pmatrix}  $$
Durch nachrechnen zeigt man das wirklich gilt
$$ y'(t) = Ay(t)  $$ mit \( y(0) = y_0 \)