Rechnung mit zwei Bijektionen a,b der Menge M ={1,2,3,4,5}

Question

Berechnen Sie \( a^{2}=a \circ a, a \circ b, b \circ a \) und \( b^{2}=b \circ b \).

\( a=\left(\begin{array}{lllll} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 1 & 2 \end{array}\right), \quad b=\left(\begin{array}{lllll} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \end{array}\right) \)

Die Lösung ist vorhanden nur verstehe ich nicht den Weg dahin.

Lösung:

\( a \circ a=\left(\begin{array}{lllll}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 1 & 2\end{array}\right) \circ\left(\begin{array}{lllll}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 1 & 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 1 & 2 & 3 & 4\end{array}\right) \),
\( a \circ b=\left(\begin{array}{lllll}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 1 & 2\end{array}\right) \circ\left(\begin{array}{lllll}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 4 & 3 & 2 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lllll}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 1 & 5 & 4 & 3\end{array}\right) \),
\( b \circ a=\left(\begin{array}{lllll}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 4 & 3 & 2 & 1\end{array}\right) \circ\left(\begin{array}{lllll}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 1 & 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lllll}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 2 & 1 & 5 & 4\end{array}\right) \),
\( b \circ b=\left(\begin{array}{lllll}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 4 & 3 & 2 & 1\end{array}\right) \circ\left(\begin{array}{lllll}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 4 & 3 & 2 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5\end{array}\right) \).

Answer 1

also zuallerst was bedeutet die Schreibweise: Wir haben eine Abbildung \( a: M \to M \) einer 5-elementigen Menge \(M = \{1,2,3,4,5\} \). Die untere Zeile beschreibt hierbei, worauf ein Element abgebildet wird.

Es gilt also : \( a(1) = 3,  a(2) = 4, a(3) = 5 \) usw.

Der Kringel \(\circ\) bedeutet Komposition von Abbildung, d.h. das hintereinander ausführen von zwei Abbildungen.

Beispiel: \(a \circ a(1) = a(a(1))= a(3) = 5 \). Also wird die \(1\) bei der doppelten Ausführung von \(a\) auf die \(5\) abgebildet.

Gruß