Question

Sei G ⊆ Sym(M) eine Menge von Bijektionen von M auf sich, die bezüglich ◦ eine Gruppe bilden (eine solche Teilmenge einer Gruppe nennt man eine Untergruppe). Definiere den Stabilisator von p ∈ M in G durch G(p) = {f ∈ G|f(p) = p}.

1. (a)  Zeigen Sie, dass G(p) eine Untergruppe von G ist.

2. (b)  Falls es zu Elementen p, q ∈ M eine Bijektion g ∈ G mit g(p) = q gibt, so gilt       G(q)=g◦G(p)◦g−1 :={g◦f◦g−1|f∈G(p)}.

3. (c)  Bestimme in der Gruppe S3 aller Bijektionen von {1, 2, 3} den Stabilisator S3(1) und mit Hilfe von (b) den Stabilisator S3(2). 

Answer 1

(a) Sei p aus M.

(i)  Das neutrale El. von G ist die identische Abb.  id   und wegen

id(p) = p    gilt also  id ∈  G(p) .

(ii)    Sei f ∈ G(p)  , dann ist zu zeigen  f^-1  ∈ G(p)  .

wegen  f ∈ G(p)  gilt f(p) = p  und es gibt ja das Inverse   f^-1 

 und also    f^-1 (p) =   f^-1 (f(p) ) =  id(p)  = p 

also auch      f^-1  ∈ G(p)  .


(iii)   und noch zeigen :  Für f , g  ∈ G(p)  ist auch   fog   ∈ G(p) -

Dann ist es eine Untergruppe.