Eine Funktion ist eine Norm auf \(\mathbb K^n\), wenn:
$$1.\ f\colon \mathbb K^n\rightarrow \mathbb R_0^+$$
Offensichtlich, da die erste Funktion über die Beträge aller Elemente von x aufsummiert und die zweite das Maximum der Beträge aller Elemente von x zurückgibt.
$$2.\ f(x)=0 \Leftrightarrow x=0$$
Die Summe über Beträge ist genau dann Null, wenn alle Beträge Null sind, also alle Komponenten von x Null sind. Dasselbe gilt fürs Maximum der Beträge.
$$3.\ \forall x \in \mathbb K^n\forall a\in K\colon f(a\cdot x)=|a|\cdot f(x)$$
$$\sum_{i=1}^n|a\cdot x_i|=|a|\sum_{i=1}^n|x_i|,\quad \max_{1\leq i\leq n}|a\cdot x_i|=\max_{1\leq i\leq n}(|a|\cdot| x_i|)=|a|\cdot \max_{1\leq i\leq n}| x_i|$$
$$4.\ \forall x,y \in \mathbb K^n\colon f(x+y)\leq f(x)+f(y)$$
$$\sum_{i=1}^n|x_i+y_i|\leq\sum_{i=1}^n(|x_i|+|y_i|)=\sum_{i=1}^n|x_i|\sum_{i=1}^n|y_i|,$$ $$\max_{1\leq i\leq n}|x_i+y_i|\leq\max_{1\leq i\leq n}(|x_i|+|y_i|)\leq\max_{1\leq i\leq n}|x_i|+\max_{1\leq i\leq n}|y_i|$$
Dreiecksungleichung für den Betrag sollte für diese Übung bereits bekannt sein, und ein Maximum über eine Summe von Beträgen ist immer kleiner oder gleich der Summe der Maxima (wenn ich mir die beiden größten Elemente aus zwei getrennten Listen aussuchen darf, kann ich eine größere Zahl erreichen als wenn ich feste Paare habe, die ich zusammenzähle).
