Die Abbildung \(\pi\) ist nicht normerhaltend! z.B. im Fall, dass \(n=2,m=1\) und \(\pi\) auf die erste Koordinate projiziert, ist \(\lVert(0,1)=1\rVert\), aber \(\lVert\pi(0,1)=0\rVert\). Insbesondere erhält sie keine Abstände!
Ich finde in diesem zitierten Satz den Begriff "Euklidische Kugel" sehr zweideutig, denn im üblichen Sprachgebrauch ist mit "Kugel" nur der "Rand" gemeint und die ausgefüllte Kugel wird als "Scheibe" betitelt.
Tatsächlich bildet nach dem üblichen Sprachgebrauch die Abbildung Kugeln auf Scheiben ab, was du dir sehr einfach bildlich vorstellen kannst, stell dir vor du nimmst dir eine Kugel und drückst sie platt in die Äquatorebene.
Das nötige Argument dafür, dass die Abbildung offen ist: Die Abbildung bildet Scheiben auf Scheiben ab.
Da die Abbildung sich mit Translation verträgt, genügt es zu zeigen, dass diese Eigenschaft für Scheiben um den Ursprung gilt.
Wenn du jetzt also eine n-dimensionale Scheibe \(D_r^n=\{x\in\mathbb{R}^n| x_1^2+x_2^2+\ldots + x_n^2 \leq r^2\}\) hast, dann ist unter der Konvention, dass die letzten \(n-m\) Koordinaten eliminiert werden:
$$\pi(D_r^n)=\{(x_1,\ldots,x_m)\in\mathbb{R}^n|x_1^2+\ldots + x_m^2+\ldots + x_n^2\leq r^2\}.$$
Insbesondere kannst du rechts Summanden weglassen und es gilt also für alle Bildpunkte auch \(x_1^2+\ldots + x_m^2\leq r^2\), also \(\pi(D_r^n)\subseteq D_r^m\).
Für die andere Richtung ist es auch klar, denn wenn du ein \((x_1,\ldots,x_m)\in D_r^m\) hast, dann ist \(x'=(x_1,\ldots,x_m,0,\ldots,0)\in D_r^n\) und \(\pi(x')=x\), also wird auch jeder Punkt in \(D_r^m\) getroffen. Sprich: \(\pi(D_r^n)=D_r^m.\)
Das gleiche Argument übrigens für offene Scheiben, wenn Du es ganz explizit haben willst.
Wie zeigt man sowas im Allgemeinen? Da gibt es kein Rezept für. Aber wenn eine Abbildung Scheiben auf Scheiben abbildet, dann ist sie meist eine nicht sehr komplizierte Abbildung (zum Beispiel bildet bereits eine sehr einfache Abbildung wie eine Scherung \(\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n\) im Allgemeinen Kugelscheiben nur auf Ellipsoidscheiben ab).
Wenn man mit so einer Überlegung drauf kommt, dass so eine Abbildung vielleicht garnicht so kompliziert ist, dann ist es manchmal ein besserer Ansatz, die Sache andersherum anzugehen. Anstatt sich zu fragen, wie man für eine Abbildung die Eigenschaft zeigt, fragt man sich: Was sind alle Abbildungen, die diese Eigenschaft haben? Wenn man herausfindet, dass die Eigenschaft die Abbildungen bereits so stark einschränken, dass es nur ganz wenige einfach zu beschreibende Abbildungen gibt, nennt man das "Rigidity". Mir fällt der deutsche Ausdruck nicht ein, denk an "Steifheit" im Sinne davon, dass die Abbildung nach wenigen gegebenen Informationen gar nicht anders kann, als auf eine ganz bestimmte Weise auszusehen.
Du weißt sicher, dass ein Polynom von Grad \(n\) im Allgemeinen eindeutig beschrieben ist durch \(n+1\) Funktionswerte, oder vielleicht sogar, dass eine komplex differenzierbare Funktion eindeutig bestimmt ist durch die Funktionswerte auf einer beliebig kleinen Menge, solange sie mindestens einen einzigen Häufungspunkt hat. Das sind auch "Rigidity"-resultate.
Zum Beispiel sind die einzigen Abbildungen \(\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\), die "echte" Kreise auf "echte" Kreise schicken, die Möbiustransformationen mit \(c=0\) sowie Spiegelungen davon, also die reellen affinen Drehstreckungen sowie Spiegelungen davon. Mehr gibt es nicht.
Wie das in höheren Dimensionen aussieht, weiß ich nicht genau, aber ich vermute, dass dort die Situation auch relativ rigid sein sollte. Solltest du an deiner Uni einen Differentialgeometer haben, frag ihn/sie doch mal, wenn du an der Frage interessiert bist.
