Beweis: Euklidische Norm ist stetig

Question

ich bräuchte Hilfe beim Beweis der Stetigkeit von Euklidischer Norm. $$ R^{m}\rightarrow R$$

Den ganzen Tag beschäftige mich damit, aber bin immer noch nicht sicher ob ich auf dem richtigen Weg bin. Beim Beweis bin davon ausgegangen, dass  wir Stetigkeit bzgl.  der Euklidischen Norm (EN)  beweisen. Das ist mein Hauptargument, warum EN stetig ist:

$$ ||x^k\rightarrow x^0||_{2}=\sqrt{(x^k_{1} -x^0_{1})^2 + (x^k_{2}-x^0_{2})^2+...+(x^k_{m}-x^0_{m})^2} \lt δ \\ \Longrightarrow \\ ||f(x^k)\rightarrow f(x^0)||_{2}=\sqrt{(f(x^k_{1})-f(x^0_{1}))^2 +  (f(x^k_{2})-f(x^0_{2}))^2    +...+(f(x^k_{m})-f(x^0_{m}))^2  } \lt ε$$

Damit zeige ich meiner Meinung nach,dass EN selbst muss stetig sein.

Viele Grüße

Comments

Dankeschön ^^

Answer 1

Ich zeige, dass eine beliebige Norm \(\|.\|\) auf einem reellen Vektorraum \(V\)

stetig ist, ja sogar Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante \(L=1\) , indem ich

\(| \|x\|-\|y\| | \leq \|x-y\|\) für beliebige \(x,y\in V\) beweise:

Wegen \(|\|x\|-\|y\| |=|\|y\|-\|x\| |\) und \(\|x-y\|=\|y-x\|\) können wir o.B.d.A.

\(\|x\|\geq \|y\|\) annehmen. Dann gilt \(|\|x\|-\|y\||=\|x\|-\|y\|\).

Die Dreiecksungleichung für die Norm liefert

\(\|x\|=\|(x-y)+y\|\leq \|x-y\|+\|y\|\), d.h. \(\|x\|-\|y\|\leq \|x-y\|\),

q.e.d.