Surjektiver Gruppenhormomorphismus, Welche Einzelelemente werden abgebildet?

Question

Zeigen Sie, dass die Abbildung ψ: C× → R+, z → |z|, ist ein surjektiver Gruppenhomomorphismus von (C×, ·) auf (R+, ·) ist. Welche Elemente werde auf das Einselement von (R+, ·) abgebildet? 

Answer 1

Wohldefiniert: \(|z|\in \mathbb R_0^+, |z|=0 \Leftrightarrow z=0\not\ni\mathbb C^\times.\)

Surjektiv: \(\forall x \in R^+\colon x\in \mathbb C^\times\wedge \psi(x)=x.\)

Gruppenhomomorphismus: \(z.z.:\ \forall z_1,z_2\in \mathbb C^\times\colon|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot|z_2|\)

Seien dazu \(z_1,z_2\in \mathbb C^\times\) und \(a,b,c,d\in \mathbb R\) so, dass \(a+bi=z_1\wedge c+di=z_2.\)

Dann gilt: \(z_1z_2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.\)

$$|z_1z_2|=\sqrt{\Re(z_1z_2)^2+\Im(z_1z_2)^2}=\sqrt{(ac-bd)^2+(ad+bc)^2}=\sqrt{a^2c^2-2abcd+b^2d^2+a^2d^2+2abcd+b^2c^2}=\sqrt{a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2}.$$

$$|z_1||z_2|=\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{c^2+d^2}=\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}=\sqrt{a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2}=|z_1z_2|.$$

$$\psi^{-1}(1)=\{z\in\mathbb C^\times\ |\ |z|=1\}=\{a+bi\ |\ a,b\in \mathbb R\wedge a^2+b^2=1\}=\{\cos(x)+i\sin(x)\ |\ x\in\mathbb R\}=\{e^{ix}\ |\ x\in\mathbb R\}.$$