Es sei f : M → N ein surjektiver Homomorphismus. Beweisen Sie, dass (N,•) eine Gruppe ist, wenn (M,∗) eine Gruppe ist.

Question

Übung Nummer 3.pdf (65 kb)

 Es seien (M,∗) und (N,•) Mengen mit Operationen. Es sei f : M → N ein surjektiver Homomorphismus. Beweisen Sie, dass (N,•) eine Gruppe ist, wenn (M,∗) eine Gruppe ist. 

Answer 1

Du musst zeigen:

Dann ist  (N,•)abgeschlossen und hat ein neztr. El. und zu jedem ein inverses.

abg:  Seien a,b aus N dann gibt es wegen surj. x und y aus M

mit f(x)=a und f(y)=b dann ist x*y aus M, da M Gruppe,

und es ist a*b = f(x) *  f(y)  und wegen Hom

                     = f(x*y) aus N    also a*b aus N

Sei e neutral in M. Für alle a aus N gilt wegen surj.   es gibt x aus M mit f(x) = a

also e*a = a da e neutral  und     f(e) * a = f(e) * f(x) =

f(e*x) = f(x)  =  a.

invers ähnlich !