Gleichung der gemeinsamen Tangente und Bestimmung von a und b

Question

Die nördliche Umgehungsstraße einer Kleinstadt verläuft in der Modellierung längs des Graphen der quadratischen Funktion f mit f(x)=x^2-2x+2. Eine von Süden kommmende Straße soll längs des Graphen einer Funkton g(x)=a(x-4)^2+b so verlaufen, dass beide Straßen im Punkt P(2\2) ohne Knick zusammenstoßen.

Wie müssen die Parameter a und b gewählt sein? Wie lautet die Gleichung der gemeinsamen Tangenten an die  Graphen von f und g im Punkt P?

Answer 1

f ( x ) = x² - 2x + 2
g(x)=a(x-4)²+b

x = 2
f ( 2 ) = x² - 2x + 2 = 2
g ( 2 ) = a(2-4)²+b
g ( 2 ) = 4 * a + b

Bedingungen für den knickfreien Übergang
f ( x ) = g ( x )
2 = 4 * a + b

und
f ´( x ) = g ´( x )
2*x - 2 = 2*a*x - 8*a
f ´( 2 ) = g ´( x2 )
2*2 - 2 = 2 * a * 2 - 8 * a
2 = 4 * a - 8 * a
2 = -4 * a
a = - 1/2

2 = 4 * a + b
2 = 4 * (-1/2 ) + b
2 = -2 + b
b = 4

Bin bei Bedarf gern weiter behilflich.

Alle Angaben ohne Gewähr.