Bestimmung des gemeinsamen Punktes Gerade und Ebene

Question

Aufgabe: Bestimmen Sie für die Gerade g: \( \vec{x} \)=\( \begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix} \)+t\( \begin{pmatrix} 1\\0\\3 \end{pmatrix} \) den Durchstoßpunkt (gemeinsamen Punkt) mit der Ebene E: (\( \vec{x} \)-\( \begin{pmatrix} 0\\-2\\1 \end{pmatrix} \))\( \begin{pmatrix} 1\\-1\\2 \end{pmatrix} \)=0

Problem/Ansatz: es sind keine Richtungsvektoren gegeben und ich habe probleme mit der vorgegebenen Ebene, so ein Ausdruck steht nicht in meinem Lehrbuch drin. Ich vermute das Gerade und Ebene gleichgesetzt werden müssen aber bin mir nicht so sicher.

Answer 1

Setze die Gerade bei der Ebene ein

( So eine Form nennt sich "Normalenform der Ebenengleichung)

(\(  \begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix} \)+t\( \begin{pmatrix} 1\\0\\3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0\\-2\\1 \end{pmatrix} )\begin{pmatrix} 1\\-1\\2 \end{pmatrix} \)=0

<=>\( (\begin{pmatrix} 1\\4\\0 \end{pmatrix} +t \begin{pmatrix} 1\\0\\3 \end{pmatrix} )\begin{pmatrix} 1\\-1\\2 \end{pmatrix} =0  \)

<=>  -3 + 7t = 0   <=>   t = 3/7

Bei g einsetzen gibt den Punkt (10/7 ; 2 ; 16/7 ).

Das ist der Durchstoßpunkt.

Comments

Vielen lieben Dank Redakteur ! Kann es jetzt nachvollziehen :)