Schnitt Ebene Gerade, Scharen, Ebenenschar, Geradenschar Ungleichung.

Question

Hallo Mathe-Lords :D

Ich schreibe Freitag eine Klausur und bei mir ergibt sich folgende Frage: 

Eine Ebene mit den Punkten H_a(0;0;a) und E(4;0;4) und G(0;4;4) schneidet die Gerade durch S(0;0;8) und B(8;8;0). 

Mit 0 ≤a kleiner 6. Mein schnittpunkt ergibt jedoch: S(8-a/8-a/a). Die Lösung verlangt aber als Ergebnis                   S((2a-16)/a-6; (2a-16)/a-6; (6a-32)/ a-6)

Ich weiß nicht wie man drauf kommen sollte.

Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen, weil ich nur auf meinen obigen schnittpunkt komme :/

Answer 1

Eine Ebene mit den Punkten H_a(0;0;a) und E(4;0;4) und G(0;4;4)

Vektor GE = ( 4 ;  -4  ;  0 )    und   GH_a( 0 ;  -4  ;   a-4 )

Also Normalenvektor z.B.

GE x GH_a = ( -4(a-4) ; -4(a-4) ; -16 ) oder kürzer

                   ( a-4 ; a-4 ; 4 )

Also E:       ( a-4) *x  +( a-4) *y + 4 z  =  d

und  H_a eingesetzt gibt   4a = d

also  E :     ( a-4) *x  +( a-4) *y + 4 z  =  4a 

schneidet die gerade durch S(0;0;8) und B(8;8;0). 

g : x =  ( 0 ; 0 ; 8 )  +  r * ( 8 ; 8 ; -8 ) =   (  8r  ;   8r   ;   8 - 8r )

einsetzen in E

( a-4) *8r  +( a-4) *8r + 4 (8 - 8r )  =  4a 

gibt r =  (a-8) / ( 4*(a-6))  hier wird auch klar, warum a<6 gefordert ist.

Einsetzen in g :

( 0 ; 0 ; 8 )  +  (   (a-8) / ( 4*(a-6))  ) * ( 8 ; 8 ; -8 )

gibt tatsächlich die Musterlösung !

Answer 2

Du musst dass Gleichungssystem \( \begin{pmatrix}0\\0\\a\end{pmatrix} + r\cdot\begin{pmatrix}4\\0\\4-a\end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}0\\4\\4-a\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\\8\end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix}8\\8\\-8\end{pmatrix} \) lösen.

Answer 3

habe das gerechnet und erhalte ebenfalls  S (8-a | 8-a| a )

Gruß Wolfgang

Comments

Hatte in meinem Normalenvektor fälschlicherweise  ((a-4)|4-a|4)  (vgl. A3!)

Wahrscheinlich hast du den gleichen Vorzeichenfehler beim Vektorprodukt!