Aloha :)
zu a) Damit die Gerade \(g_a\) die Ebene \(E_b\) orthogonal schneidet, muss der Richtungsvektor der Geraden \(\vec v_g=(1;2;a)^T\) parallel zum Normalenvektor der Ebene \(\vec n=(2;4;5)^T\) stehen.
Hier erkennt man direkt, dass \(\vec v_g\) für \(\pink{a=2,5}\) genau \(\frac12\vec n\) ist und damit die beiden Vektoren parallel zueinander verlaufen.
Den gesuchten Schnittpunkt erhältst du durch Einsetzen der Geradengleichung$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\\pink a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+t\\1+2t\\\pink{2,5}t\end{pmatrix}$$in die Ebenengleichung:$$2\cdot\underbrace{(1+t)}_{=x_1}+4\cdot\underbrace{(1+2t)}_{=x_2}+5\underbrace{\cdot2,5t}_{=x_3}=b\implies22,5t+6=b\implies t=\frac{b-6}{22,5}=\frac{2b-12}{45}$$
Diesen Wert für \(t\) setzt du in die Geradengleichung ein:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+t\\1+2t\\2,5t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+\frac{2b-12}{45}\\[1ex]1+2\cdot\frac{2b-12}{45}\\[1ex]2,5\cdot\frac{2b-12}{45}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{2b+33}{45}\\[1ex]\frac{4b+21}{45}\\[1ex]\frac{b-6}{9}\end{pmatrix}\implies$$$$\pink{S\left(\frac{2b+33}{45}\;\bigg|\;\frac{4b+21}{45}\;\bigg|\;\\\frac{b-6}{9}\right)}$$
zu b) Damit die Gerade \(g_a\) parallel zur Ebene \(E_b\) verläuft, muss der Richtungsvektor der Geraden \(\vec v_g=(1;2;a)^T\) senkrecht zum Normalenvektor der Ebene \(\vec n=(2;4;5)^T\) stehen:$$\begin{pmatrix}1\\2\\a\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2\\4\\5\end{pmatrix}\stackrel!=0\implies10+5a=0\implies \pink{a=-2}$$
zu c) Damit die Gerade \(g_a)\) in der Ebene \(E_b\) liegt, muss die Gerade insbesondere parallel zur Ebene verlaufen. Daher können wir die Forderung \(\pink{a=-2}\) aus Teil (b) übernehmen.
Zusätzlich muss noch ein Punkt der Geraden, z.B. der Ankerpunkt \((1|1|0)\), in der Ebene liegen:$$2x_1+4x_2+5x_3=b\implies 2\cdot1+4\cdot1+5\cdot0=b\implies\pink{b=6}$$
Wir müssen also \(a=-2\) und \(b=6\) wählen.
