Ermittlung einer ganzrationalen Funktion, die die x-Achse in x= - 4 berührt.

Question

Ich habe eine Frage:

Und zwar zerbreche ich mir gerade den Kopf darüber wie ich:
- eine ganzrationale Funktion dritten Grades erstelle unter den Bedingungen, dass
- der zugehörige Graph durch den Ursprung verläuft
- durch den Punkt P(2 | 6) 
- und die x-Achse bei x=-4 berührt

Vor allem der letzte Punkt bereitet mir Kopfzerbrechen. 
Meine Überlegungen: Berührt, heißt, es handelt sich um eine doppelte Nullstelle.
Ganzrationale Funktion: f(x)=ax³+bx²+cx+d
Zum Lösen eines Gleichungssystems benötigt man bei einer Funktion dritten Grades ja 
mindestens vier Gleichungen. Die Umsetzung der doppelten Nullstelle ist mir hier nicht klar.

Ich danke schon einmal im Voraus für Antworten

 

Answer 1

 der zugehörige Graph durch den Ursprung verläuft 
- durch den Punkt P(2 | 6)  
- und die x-Achse bei x=-4 berührt

Du kannst hier 

f(x) = a(x-0)(x+4)^2 ansetzen.

Da x = - 4 eine doppelte Nullstelle sein muss, wegen der Berührung. 

f(x) = a(x-0)(x+4)^2

f(x) = ax(x+4)^2 

Jetzt noch P(2|6) einsetzen.

6 = a*2*6^2

a = 1/2.

Also f(x) = 1/12 x(x+4)^2 . Wenn unbedingt nötig darfst du das auch noch ausmultiplizieren.

Hier mal zur Kontrolle der Graph.

Comments

Den Ansatz  f(x) = x(x+4) hatte ich auch schon, aber ich habe den Koeffizienten a vergessen.

Danke für deine schnelle und ausführliche Antwort.

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Bitte. 'Berühren' heisst hier auch 'horizontale Tangente'.

D.h. f ' (-4) = 0 und nicht vergessen den Punkt P(-4|0) selbst zu verwenden: f(-4) = 0. So bekommst du aus einer Angabe 2 Gleichungen.

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'Berühren' heisst auch 'horizontale Tangente'.

Das ist etwas stark formuliert?!

Das trifft in der Hauptsache auf Berührpunkte bzgl einer Funktion und der x-Achse zusammen, aber nicht allgemein für den Berührpunkt zwischen zwei Funktionen ;).

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@ Unknown: Ich habe 'hier' eingefügt. Meist vergessen die Leute, wenn sie einen Extrempunkt kennen, auch noch den Punkt in f einzusetzen.