Formel Binomialkoeffizient begründen

Question

Ich soll allgemein die Formel für den Binomialkoeffzient begründen, also dass:

$$ (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})\quad =\quad \frac { n! }{ k!\quad *\quad (n-k)! } \\ \\  $$

$$ (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})\quad =\quad \frac { n\quad *\quad (n-1)\quad *\quad (n-2)\quad *\quad ...\quad *\quad (n-k+1) }{ k\quad *\quad (k-1)\quad *\quad ...\quad *\quad 1 } \\ \\  $$

aber ab hier weiß ich leider nicht mehr wie ich weitermachen soll um auf die übliche Form zu kommen.

Wäre schön wenn mir jemand weiterhelfen könnte und erklärt wie und warum man so weiter umformt!

Danke.

Comments

Diese Aufgabe ist nur sinnvoll, wenn auf irgendeine, von der genannten Identität verschiedene, Definition des Binomialkoefizienten Bezug genommen wird. Hättest Du da was?

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Ich soll einfach die Formel zur Berechnung des Binomialkoeffizienten begründen. So wie es z.B. hier gemacht wird: https://www.mathelounge.de/40576/binomialkoeffizienten-einfach-erklaren

Allerdings ist mir die Erklärung dort nicht ganz verständlich.

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Der Binomialkoeffizient Berechnet die Anzahl Möglichkeiten aus n Elementen k auszuwählen.

Wie viel Möglichkeiten hast du bei Beachtung der Reihenfolge?

n Möglichkeiten für das erste Element.

(n - 1) Möglichkeiten für das zweite Element.

(n - 2) Möglichkeiten für das dritte Element.

(n + 1 - k) Möglichkeiten für das k-te Element.

n * (n - 1) * (n - 2) * ... * (n + 1 - k)

Wir erweitern das mit (n - k)!

n * (n - 1) * (n - 2) * ... * (n + 1 - k) * (n - k)! / (n - k)!

n! / (n - k)!

Wenn uns nun die unterschiedlichen Reihenfolgen nicht interessieren muss ich nochmal durch die Anzahl der Reihenfolgen teilen. 

n! / (n - k)! / k! = n! / ((n - k)! * k!)

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Ok klingt logisch. VIelen Dank.

Aber warum man mit (n-k)! erweitert hab ich noch nicht ganz durchschaut. Hättest. Du da eine Erklärung zu dem Schritt?

Bzw. unter dem Bruchstrich hab ich ja schon k! Stehen am Anfang was passiert mit denen beim Erweitern?

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Bei mir stehen unten am Anfang noch keine k!. Das kam erst im letzten Schritt.

Erweitern tut man, damit man den Ausdruck einfacher mit Fakultäten schreiben kann.

(10 über 3) ist die Anzahl Möglichkeiten 3 aus 10 zu ziehen ohne Beachtung der Reihenfolge.

Mit Reihenfolge wären es

10 * 9 * 8

Dieser ausdruck ist unpraktisch und müsste mit 7! zu einem schöneren Ausdruck ergänzt werden.

10 * 9 * 8 * 7! / 7! 

10! / 7!

Wenn mich die Anzahl an Reihenfolgen nicht interessiert muss ich noch durch die Anzahl an Reihenfolgen teilen.

10! / 7! / 3! = 10! / (7! * 3!)

Damit hat man dann den Ausdruck.

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Danke fur, die schnelle Antwort. Jetzt hab ichs durchschaut!

Answer 1

Die Aufgabe wurde über die Kommentare gelöst und ist denke ich beantwortet.

Comments

Fürs Archiev oder besser alle, die auf der Suche nach der Antwort auf diesen Foreneintrag stoßen, wäre vielleicht noch eine Erläuterung zu dem Teiler k! schön.

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Es geht um die Anzahl an Reihenfolgen die k verschiedene Dinge haben können.

Wenn wir die k Elemente in eine Reihe bringen haben wir für das erste Element k Möglichkeiten. Für das zweite Element nur noch (k - 1) Möglichkeiten und für das dritte noch (k - 2) Möglichkeiten. Für das letzte Element haben wir letztendlich nur noch eine Möglichkeit, weil nur noch ein Element vorhanden ist zum Plazieren.

Multipliziert man alle Möglichkeiten miteinander erhält man

k * (k - 1) * (k - 2) * ... * 1 = k!

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Wenn man also die Anzahl der Möglichkeiten für geordnete Gruppen (mit berücksichtigung der Reihenfolge) n!/(n-k)! durch die Anzahl der möglichen Reihenfolgen k! teilt, bekommt man die Anzahl der möglichkeiten der nicht geordneten Gruppen (bei denen die Reihenfolge keine Rolle spielt). Danke :)