Formel für Binomialkoeffizient finden

Question

ich benötige ein paar Denkanstöße bei folgender Aufgabe:

$$\text{ Seien n, k } \in \mathbb{N} \text{ mit } n \geq k \geq 3. \text{ Bestimmen Sei mit Begründung eine Formel für } \begin{pmatrix} n+3\\k \end{pmatrix} \text{ in Abhängigkeit von }\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix},\begin{pmatrix} n\\k-1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} n\\k-2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} n\\k-3 \end{pmatrix}.$$

Ich weiß nicht wo ich dort genau anfangen soll um auf eine richtige Formel zu kommen.

Answer 1

COMB(n, k) ist im Folgenden der Binomialkoeffizient (n über k).

COMB(n + 3, k) = COMB(n + 2, k) + COMB(n + 2, k - 1)

COMB(n + 3, k) = (COMB(n + 1, k) + COMB(n + 1, k - 1)) + (COMB(n + 1, k - 1) + COMB(n + 1, k - 2))

COMB(n + 3, k) = COMB(n + 1, k) + 2 * COMB(n + 1, k - 1) + COMB(n + 1, k - 2)

COMB(n + 3, k) = (COMB(n, k) + COMB(n, k - 1)) + 2 * (COMB(n, k - 1) + COMB(n, k - 2)) + (COMB(n, k - 2) + COMB(n, k - 3))

COMB(n + 3, k) = COMB(n, k) + 3 * COMB(n, k - 1) + 3 * COMB(n, k - 2) + COMB(n, k - 3)

Comments

Vielen Dank :) Ist einfacher als ich gedacht hätte.

Answer 2

Pascalsches Dreieck: \(\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}\).

Beweis. Man kann aus n Elementen k Element auswählen indem man

• aus den ersten n-1 Elementen k-1 Elemente auswählt und dann das letzte Element hinzufügt, oder
  
• aus n-1 Elementen k Elemente auswählt.
  

Comments

Die Anwendung dieser Formel des Pascalschen Dreiecks mache ich dann für alle 4 nötigen Abhängigkeiten?

Und was kann aus diesen einzelnen Koeffizienten dann machen?