Sei n, k ∈ ℕ mit n ≥ k ≥ 3. Bestimmen Sie eine Formel für … in Abhängigkeit von ... (Kombinatorik)

Question

Aufgabe:

Sei n, k ∈ ℕ mit n ≥ k ≥ 3. Bestimmen Sie eine Formel für

\( \begin{pmatrix} n+3 \\ k \end{pmatrix} \)

in Abhängigkeit von

\( \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} n \\ k-1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} n \\ k-2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} n \\ k-3 \end{pmatrix} \)

Answer 1

Du sollst eine Formel für den Ausdruck \( \binom{n+3}{k} \) finden in der nur die 4 oben stehenden Binomialkoeffizienten verwendet werden (das ist mit Abhängigkeit gemeint).

Schau mal in Pascalsche Dreieck rein und benutz die Rekursionsformel für Binomialkoeffizienten. Dann wirst du schon sehen, wie du aus deinen Zutaten dein Gericht erstellen kannst.

Es gilt (Rekursionsformel) $$ \binom{m}{k} = \binom{m-1}{k}+\binom{m-1}{k-1} \quad  0\leq k \leq m$$
Fangen wir doch von unten nach oben (im Sinne des Pascalschen Dreieck) an:
$$ \binom{n+3}{k} = \binom{n+2}{k}+\binom{n+2}{k-1} $$ Das kannst du jetzt wiederholen für die Koeffizienten mit n+2 im Ausdruck , und du kriegst Koeffizienten mit n+1 im Ausdruck. Nochmal wiederholen und du hast nur noch Koeffizienten mit n im Ausdruck (sowie k bis k-3).

Gruß

Comments

Du meinst also das wäre jetzt in Abhänigkeit von n über k? Okay und dann wäre der nächste:

\( \left(\begin{array}{ll}n+2 \\ k- & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}n+ & 1 \\ k- & 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}n+1 \\ k- & 2\end{array}\right) \)

Hab ich das so richtig verstanden?

---

Ja genau :) aber nicht vergessen du musst das für jeden Summanden durchführen.

---

Hallo. Ich sitze genau an derselben Aufgabe und verstehe leider nicht, wie man nach diesen Schritten zur Formel kommen soll. Kann mir das jemand vielleicht nochmal genauer erklären? Gruß