Extremwertaufgabe. Rechteck einbeschreiben ins Flächenstück zwischen dem Graphen von f(x)= x^2 – 5x und der x-Achse.

Question

Ich hab mal noch eine Frage zu dieser Extremwertaufgabe:

In das Flächenstück zwischen dem Graphen von f(x)= x^2 – 5x und der x-Achse soll ein Rechteck ein beschrieben werden, wobei eine Seite auf der x- Achse liegt. Berechnen Sie die Koordinaten der Eckpunkte, wenn sein Umfang minimal werden soll.

Hab auch eine Skizze angefertigt:

Ich hab erstmal so angefangen: 

Was ist gefragt: Koordinaten der Eckpunkte des Rechtecks

Was soll optimiert werden: Umfang soll minimal werden

Wie ist die Formel dafür: U= 2(a+b)

also ist die Hauptbedingung: U= 2(a+b)

Jetzt endlich meine Frage: welche Nebenbedingung muss ich nehmen, ist es vieleicht der Graph f(x)= x^2 – 5x

Danke für die Hilfe!

LG Thomas

Comments

richtig ist es... jetzt muss du nur noch die koordinaten angeben.. du musst jetzt die Nullstellen ausrechnen um zu wissen von wo bis wo das rechteck geht auf der x Achse...

Dann hast du die Punkte (0/0), (0/-2) (x₂/0) (x₂/2)

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"Dann hast du die Punkte (0/0), (0/-2) (x₂/0) (x₂/2)"

Das sind garantiert keine Punkte auf der Parabel ...

LG M.

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x2 ist die Nullstelle von der parabel

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Ok ich Danke Dir für deine Hilfe!

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Hier mal, wie ich deine Skizze beschriften würde:

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Hallo Lu!

ich hab die Skizze von Dir gestern erst ziemlich spät gesehen, könntest Du mir deine Vorgehensweise kurz erläutern (ich hab zwar die Lösung schon) aber mich interessiert deine Strategie! Wäre ganz nett von Dir!

LG Thomas

Answer 1

Ja du musst den Graphen nehmen..

am besten du schreibst die Hauptbedingung um zu U= 2(x+y) somit kannst du ganz einfach die Gleichung des Graphen nehmen und für y einsetzen:
U = 2x + 2y = 2x + 2(x^2 -5x) = 2x + 2x^2 - 10x = 2x^2 -8x

Jetzt kannst du die Extremstellen ausrechnen, indem du die erste Ableitung nimmst

Comments

Kannst Du mal kurz ein Auge drauf werfen und sagen ob das so richtig ist und wie es in der Aufgabenstellung mit den Koordinaten der Eckpunkte gemeint ist. Also was man da noch tun muss...

Ich hoffe Du kannst meine Schrift lesen ;)

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Du hast einen Vorzeichenfehler , nochmal aufsetzen bei:

0= 4x -8

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Hinweis:

Zeichne Dir ein Rechteck mal in dem gesuchten Bereich ein (nur zur Übersicht).

Erscheint Dir (mit Deiner Skizze zusammen) die oben vorgeschlagene Vorgehensweise logisch ?

LG M.

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Hi, muss es 0=4x+8 sein

Rechteck hab ich mir nun auch eingezeichnet, war die Vorgehensweise eher unlogisch von mir?

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Du  hast ein x ausgerechnet ... was sagt Dir dieses x ?

Wie willst Du dieses x in Deiner Zeichnung nutzen ?

LG M.

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Mein X ist genauer gesagt ein XE1 also eine Extremstelle

Und somit wird es auch in der Zeichnung als Extremstelle genutzt

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"Und somit wird es auch in der Zeichnung als Extremstelle genutzt"

... und WIE genau willst Du es für Dein gesuchtes Rechteck nutzen ?

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Ganz genau??

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JA, ganz genau.

WAS machst Du mit dem x in Deiner Zeichung ?

Wie hilft es zur Lösungsfindung ?

LG M.

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Vieleicht ist es eine "Grenze" oder ein Punkt für das Rechteck (ist nur eine Vermutung)

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*schmunzel*

Vielleicht ist es auch garnix von Deinen Vorschlägen ?

Da ich Deine Antwort befürchtet hatte, habe ich so genau hinterfragt.

Du hast irgendwas gerechnet, nur weils so schön gepasst hat in das Schema der vorherigen Aufgaben ...

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Willst Du es eventuell nochmal mit Logik probieren ? (Ich helfe Dir.)

LG M

Nachtrag: Wie groß ist Dein berechneter Umfang ?

Wie lauten die Koordinaten des Rechtecks ?

.

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Ach Mensch... ich dachte das ist immer gleich

Soll ich meinen Zettel gleich verbrennen?

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Ja, es ist FAST immer gleich.

Du hast alles richtig gemacht, kannst mit dem Ergebnis jedoch nichts anfangen, da Du nicht bis zu Ende gedacht hast ....

Zettel aufheben !

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Ich würde Dir einen Weg vorschlagen, der um ca 5 Zeilen länger ist, Du jedoch Dein Ergebnis interpretieren kannst und die Lösung findest.

Magst Du noch 'ne gute halbe Stunde dranbleiben ?

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Hatte fast schon das Feuerzeug angesetzt ;)

Ich hab die ganze Nacht Zeit...

Dann leg mal los

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Jetzt etwas umständlicher, aber Du wirst dadurch Deine Lösung finden ... versprochen.

Die Parabel ist nach rechts verschoben, somit wären auf der x-Achse ja zwei x-Werte für das gesuchte Rechteck vorhanden.

Kleiner Trick, wir verschieben die Parabel nach links, sodass der Scheitelpunkt auf der y-Achse liegt.

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Den jetzigen Scheitelpunkt bekommen schnell raus, liegt mittig zwischen den Nullstellen (wegen Symmetrie).

Nullstellen berechnen: 0= x*(x-5)

Satz vom Nullprodukt, somit Nullstellen bei 0 und 5.

Scheitelpunkt (2,5 | y )

y- Berechnen, somit S(2,5 |6,25)

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Jetzt Parabel nach links verschieben.

g(x) = x^2 - 6,25

Mache Dir bitte eine kleine Handskizze und zeichne schonmal das Rechteck ein.

Waagerechte Seiten werden a, senkrechte Seiten werden b.

Bis dahin klar ?

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Ja ok, ich hab alles eingezeichnet

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Zur Kontrolle: Parabel wurde um 2,5 Einheiten nach links verschoben.

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Rechteck liegt symmetrisch zur y-Achse. (und unter x-Achse)

Jetzt schaue Dir die obere Seite a an.

Die x-Werte gehen einmal nach rechts und einmal nach links. Beide x-Werte sind gleichgroß (wegen Symmetrie).

*** Somit Länge a = 2x. ***

Und nun wie gewohnt ....

HB: U= 2(a+b)

U = 2*(2x + b)

NB: b= g(x) = x^2 -6,25 ..... hier natürlich unsere verschobene Funktionsgleichung einsetzen

ZF: U= 2*(2x + x^2 -6,25)

Ableitungen, usw. usf.

x= ... ?

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X=-1           

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Richtig.
Dein Extremwert liegt bei x= -1.
Wegen Symmetrie (oder weil der Betrag der Länge entscheidend ist) liegt der andere Extremwert bei x=1
|-1| = 1

Allgemein:
Die Extremwerte liegen also 1 LE rechts und 1 LE links vom Ursprung,
also auch 1 LE (in x-Richtung) vom Scheitelpunkt entfernt.

Das kannst Du nun in Deine Ursprungszeichnung übertragen.

Somit hast Du bereits die beiden x-Werte für die oberen Punkte des gesuchten Rechtecks.
a = 2* | x | = 2 LE

usw. usf.

Ich glaube, den Rest kriegst Du locker selber hin ...

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Irgendwie weiß ich jetzt nich so richtig wo ich das einzeichnen soll...

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Du gehst in Deine URSPRUNGSZEICHNUNG..

Dort hast Du den Scheitelpunkt S(2,5 | - 6,25). ..... x_S = 2,5

Du hast berechnet, dass die Extremwerte jeweils 1 LE (in x-Richtung) vom Scheitelpunkt entfernt liegen.

x_1 = 2,5 -1 = 1,5

x_2 = .... ?

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X2= -5,25    

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Opps, da hast Du Dich etwas vertan.

x_1 = 1,5

Somit P1( 1,5 | 0)

x_2 = 2,5 + 1 = 3,5

Somit P2(3,5 | 0)

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Jetzt die unteren Punkte (die auf der Parabel liegen).

P3(1,5 | - 5,25) und P4(3,5 | - 5,25)

Fragen dazu ?

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Ja ich raff es immer noch nicht

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Gehen wir nochmal einen Schritt zurück.

Ursprungszeichnung. Du hast den Scheitelpunkt S ( 2,5 | - 6,25)

x_S = 2,5

Markiere auf der x-Achse ein kleines Pünktchen bei x=2,5.

Von diesem Pünktchen gehe 1 LE nach links und markiere P_1 (1,5 | 0).

Dein erster gesuchter Punkt des Rechtecks.

(Du hattest vorher mit der verschobenen Parabel berechnet, dass der Extremwert -1 ist.)

Fragen ?

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Und nach rechts das geiche 1LE von dem Punkt X=2,5 oder?

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Ja, richtig.
(Folgt aus der Skizze der verschobenen Parabel. Da lag der andere Extremwert 1 LE rechts .. )

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Alles klar, auf sowas muss man aber auch erstmal kommen...

Und einen einfacheren Lösungsweg gibt es da nicht?

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Doch, etwas kürzer war Dein erster Lösungsweg ... Logisch schwerer nachvollziehbar, aber machbar.

Du hattest dort nicht zu Ende gedacht ... konntest mit dem x=2 nix anfangen ...

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Du hattest x=2. Dieses x war Dein a.

Argumentieren mit Symmetrie (und blablabla)...

Von der Symmetrieachse (x=2,5) Deiner Ursprungsfunktion muss man a/2 =1 nach rechts und nach links gehen. usw. usf. (genauso, wie eben auch gemacht).

Vergleich: U = 14,5

LG M.

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Ich habe gesehen, Lu hat auch noch eine Idee eingestellt ...

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Ok... Also Vielen Dank Dir für Deine Hilfe, Deine Geduld und die Zeit (war doch ein wenig länger als eine halbe Stunde)

!

LG Thomas Brilliant (obwohl dieser Name auch nicht zu mir passt) ;D

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Bitte, bite .. gern geschehen ....

Ganz wichtig, immer nachdenken / verstehen, WAS mache ich überhaupt.

LG Birtel

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Viel Spaß noch beim Ansatz von Lu, sieht auch super aus.

Ist mal ´ne ganz andere Sichtweise.Versuchs mal ....

Übung macht den Meister !

Answer 2

Ausgehend von meiner Skizze komme ich auf die Zielfunktion

u(x) = 2 ( 5-2x + |f(x)| )

=2(5-2x + |x^2 - 5x|)       | f verläuft neg. im gesuchten Bereich ==> Subtrahieren!

= 2(5-2x - (x^2 - 5x))

=2(5 - 2x - x^2 + 5x)

=2(5 + 3x - x^2)

Nun ableiten

u'(x) = 2( 3 - 2x)

==> x = 1.5.

Breite der Rechtecks 5 - 3 = 2 Einheiten

Höhe des Rechtecks: f(1.5) = |x^2 - 5x| = |2.25 - 7.5| = 5.25

Koordinaten der gesuchten Eckpunkte

A(1.5 | 0) , B(1.5 | -5.25), C(5-1.5 | -5.25) = C(3.5 | -5.25), D(3.5 | 0)

fertig!

Kontrollgrösse zum Vergleich mit deinem Lösungsweg:

Maximaler Umfang u = 2(2 + 5.25) = 14.5 Einheiten.

Anmerkung: ia123 hatte sicherlich gemeint, dass du üben sollst, nicht dass ich dir das vorrechne. Leg nun meine Rechnung weg und probier mal selbst das zu Rechnen, was du hier gerade gelesen hast. Am besten beide Methoden. Nur so hast du eine Kontrolle, ob dir das Üben mitten in der Nacht auch was gebracht hat.

Comments

Hallo Lu,
ich finde Deinen Ansatz sehr elegant.

Ja, ich meinte, dass der Fragesteller sich mit Deinem Ansatz auseinandersetzen solte.
Er hat im Endeffekt dann 3 unterschiedliche Lösungswege.

1) Es ist von Vorteil, verschiedene Lösungswege zu kennen.
2) Verschiedene Wege = besseres Verstehen.

Lob aber auch an Thomas, er bemüht sich und wird sicher mit jeder Aufgabe immer besser !

LG M.