Umkehr- und Modellbildungsaufgaben: Kostenfunktion 3. Grades ermitteln

Question

Vor ein paar Tagen haben wir in der Schule mit Umkehr- und Modellbildungsaufgaben angefangen und dazu müssen wir jetzt ein Bsp rechnen. Das Problem ist aber, dass ich nicht verstehe wie man dieses Beispiel richtig angeht und ausrechnet. Es wäre toll wenn mir es jemand möglichst detailliert vorrechnen könnte, damit es mir leichter fällt den Rechengang zu verstehen.

Aufgabe:

Ermittle eine Kostenfunktion K(x) dritten Grades, die den Zusammenhang zwischen produzierter Stückzahl und Kosten für den Bereich 0 bis 250 Stück beschreibt. Die Fixkosten (bei 0 Stück) betragen 1000€. Bei 100 Stück beträgt die momentane Änderung 15€, bei 200 Stück 10€. Bis 100 Stück steigt die Zunahme der Kosten an, ab 100 Stück verringert sich die Zunahme der Kosten (Tipp: Wendepunkt). Wie hoch sind die Kosten für 250 Stück? Warum ist der Funktionsterm für größere Stückzahlen ungeeignet?

Ich hoffe ihr könnt mir helfen!

Answer 1

Ermittle eine Kostenfunktion K(x) dritten Grades,

K ( x ) = a*x^3 + b * x^2 + c*x + d

die den Zusammenhang zwischen produzierter Stückzahl und Kosten für den
Bereich 0 bis 250 Stück beschreibt. Die Fixkosten (bei 0 Stück) betragen 1000€. 

K ( 0 ) = 1000  => d = 1000

Bei 100 Stück beträgt die momentane Änderung 15€,
bei 200 Stück 10€.

Momentane Änderung ist mathematisch die Steigung oder 1.Ableitung

K ( x ) = a*x^3 + b * x^2 + c*x + 1000
K `( x ) = 3 * a * x^2 + 2 * b * x + c
K ´ ( 100 ) = 15
K ´ ( 200 ) = 10

Bis 100 Stück steigt die Zunahme der Kosten an, ab 100 Stück verringert
sich die Zunahme der Kosten (Tipp: Wendepunkt).

K ´´( x ) = 6 * a * x + 2 * b
K ´´ ( 100  ) = 6 * a * 100 + 2 * b = 0
600* a + 2 * b = 0

Jetzt hast du 3 Gleichungen ( K ´( 100 ), K ´( 200 ) und K ´´ ( 100 ) ) mit
3 Unbekannten. Kannst du diese lösen ?

Sonst kann ich das vorführen.

Wie hoch sind die Kosten für 250 Stück?
Warum ist der Funktionsterm für größere Stückzahlen ungeeignet?

mfg Georg

Comments

Danke für deine ausführliche Antwort. Ich glaub ich habs verstanden.

Die Kosten sind, falls es stimmt, für 250 Stück ~ 40 215 €.

Herzlichen Dank!

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Mein Matheprogramm hat heraus

K ( x ) = - x^3 / 6000 + x^2 / 20 + 10 * x + 1000

K ( 250 ) = 4021

Ist dein angeführtes Ergebnis 40215  ?
Welchen Funktionsterm hast du ermittelt ?

Answer 2

Hinweise:

Ermittle eine Kostenfunktion K(x) dritten Grades, die den Zusammenhang zwischen produzierter Stückzahl und Kosten für den Bereich 0 bis 250 Stück beschreibt.$$$$
Allgemeine Funktionsgleichung: $$ f(x)=ax^3+bx^2+cx+d $$

 Die Fixkosten (bei 0 Stück) betragen 1000€. $$ f(0)=1000 $$$$ 1000=a\cdot 0^3+b\cdot 0^2+c \cdot 0+d $$
Bei 100 Stück beträgt die momentane Änderung 15€, bei 200 Stück 10€. $$$$Momentane Änderung bedeutet 1.Ableitung:
 $$ f'(x)=3ax^2+2bx+c$$

Bis 100 Stück steigt die Zunahme der Kosten an, ab 100 Stück verringert sich die Zunahme der Kosten (Tipp: Wendepunkt).$$  $$Da brauchen wir die 2. Ableitung:
 $$ f''(x)=6ax+2b $$