Wieso geben die Ableitungen von Funktionen 3. Grades, 4. Grades spezielle Punkte?

Question

Wir nehmen in der Schule momentan die Kurvendiskussion durch.

Dazu gehören natürlich die Extrempunkte, Wendepunkte etc.

Zusätzlich sollen wir auch Funktionsgleichungen rückwirkend Rekonstruieren, indem wir Punkte bekommen, bzw. leicht "versteckte" Informationen erhalten um uns die Punkte abzuleiten. Als Beispiel wäre die Funktion 3. Grades mit einem bestimmten Punkt und einem Wendepunkt (x | y) mit der Steigung z.

Aus letzterem kann man natürlich dann 3 Funktionen ausfüllen um das Additionsverfahren verwenden zu können (mit dem expiliziten Punkten sind es dann die benötigten 4 Funktionen).

1. (der explizite Punkt)

... 2. der Wendepunkt(x | y), 3. die zrste Ableitung mit f(x) = 2 (weil Steigung 2!) und dem x-Wert des Wendepunktes, 4. die zweite Ableitung 0 setzen, wodurch man ja einen Wendepunkt bestimmt, und dann den x-Wert des Wendepunktes einsetzen

-> 4. Funktionen fertig und wir können das Additionsverfahren anweden.

Das ist nun nicht sonderlich schwierig, aber ich würde gerne nicht nur wie im Unterricht erfahren WIE etwas funktioniert (oben genannt), sondern ich würde gerne wissen WIESO es auch funktioniert.

Meine Fragen also:

-> Wieso ergibt denn die 1. Ableitung der Funktion die Steigung? (Ich kann mich leicht daran erinnern, es hat etwas mit der positionierung einer Tangente auf der Kurve zu tun und die Steigung ist an Hochpunkt/Tiefpunkt = 0, da da die angelegte Tangente parallel zur x-Achse ist. Wieso kann ich aber einfach die 1. Ableitung dafür nutzen? Wie bringe ich die Tangentenerklärung nun mit der tatsache der Ableitungsnutzbarkeit in Verbindung?

-> Wieso kann ich die 2. Ableitung zur Berechnung des Wendepunkts nutzen? Wo ist die logische Erklärung die nicht lautet "das ist halt so"?

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Answer 1

Hi,
die erste Ableitung einer Funktion \( f(x) \) ist definiert als \( \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \) was ja geometrisch den Tangens (Steigung) einer Geraden durch die Punkte \( f(x+h) \) und \( f(x) \) bedeutet. Lässt man nun \( h \) gegen \( 0 \) gehen, erhält man die Steigung der Funktion \( f(x) \) im Punkt \( x \)

Die zweite Ableitung beschreibt die Krümmung der Funktion \( f \). Damit ist geometrisch auch zu erklären wieso die Bedingung \( f'' > 0 \) notwendig ist für das vorliegen eines Minimums. Wenn nämlich die erste Ableitung \( 0 \) ist, hat die Funktion eine waagerechte Stelle, und wenn die Krümmung positiv ist, also \( f'' > 0 \) gilt, kann ja nur ein Minimum vorliegen, da durch die positive Krümmung die Funktionswerte rechts und links der waagerechten Stelle wieder größer werden. Ein ähnliches Argument gilt für den Fall \( f'' < 0 \)

Comments

Die zweite Ableitung habe ich verstanden, aber was beschreibt h bei der ersten Ableitung? Woher holt man dieses h und wofür steht es? Wir haben zum Thema Ableitungen und Ihre definition nur folgendes gelernt:

Der exponent geht als Faktor nach vorne und der neue Exponent ist der ursprüngliche Exponent -1. eine Zahl ohne eine Zahl mitExponent verschwindet.

Beispiel:

ƒ(x) = x^3 + 2x - 3

wird zu

ƒ'(x) = 3x^2 + 2

Woher holst Du nun ein h und wofür soll es genau stehen? o:

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Da mit einem \( h > 0 \) die Steigung einer Geraden durch zwei verschiedenen Punkte der Funktion \( f \)  beschrieben wird, ist man auch daran interessiert, wie die Steigung in einem bestimmten Punkt ist. Dazu lässt man h gegen Null gehen, was bedeutet, dass man nun die Steigung in einem und bestimmten Punkt bekommt. Falls der Grenzwert existiert, hat man dann den die Steigung der Funktion in diesem Punkt.

Answer 2

Hallo ii151,

was ich nicht so ganz verstehe : du kennst die Begriffe Steigung, Tangente,
Wendepunkt, Krümmung, 1.Ableitung, 2.Ableitung usw. Das spricht schon
für einiges Wissen.

Trotzdem fragst du du eigentlich nach dem womit man ANFÄNGT wenn man
Differentialrechnung BEGINNT.

Man beginnt mit dem Begriff der STEIGUNG einer Funktion ( 1.Ableitung ) und
wie diese ermittelt wird : Differntialquotient, Konstantenregel, Produktregel,
Quotientenregel usw.

Dies sind die Voraussetzungen auf denen alles weitere aufbaut.

Ich wundere mich das dies bei euch nicht unterrichtet sein soll.

mfg Georg

Comments

Also sowas wie Konstantenregel etc. haben wir nicht 1x im Unterricht benutzt, wir haben lediglich gelernt, dass die 1. Ableitung z.B. immer die Steigung ergibt ( f'(x) = Steigung ) und wie man eine Funktion ableitet.

Liegt vielleicht daran, dass wir nur (leider :c) ein Mathe GK sind und Mathe (LEIDER) nicht im Abi nehmen können. Deswegen kratzt unser Lehrer die Themen meist nur an, weil der rest meiner Klasse bis auf ein paar Mitschüler/innen nicht sehr matheinteressiert sind.